Q-serie ipergeometrica

In matematica, le q-serie ipergeometriche, chiamate anche serie ipergeometriche basiche, sono generalizzazioni q-analoghe delle serie ipergeometriche ordinarie. Si definiscono comunemente due tipi di q-serie, le q-serie ipergeometriche unilaterali e le q-serie ipergeometriche bilaterali.

La terminologia viene stabilita in analogia con quella delle serie ipergeometriche ordinarie. Una serie ordinaria $\sum_{n} x_{n}$ viene detta serie ipergeometrica (ordinaria) se il rapporto fra termini successivi $x_{n + 1} / x_{n}$ è una funzione razionale di n. Se invece il rapporto fra termini successivi è una funzione razionale di $q^{n}$ , la serie corrispondente viene detta q-serie ipergeometrica.

Le q-serie ipergeometriche sono state analizzate per la prima volta da Eduard Heine nel XIX secolo, al fine di individuare caratteristiche comuni alle funzioni teta di Jacobi e alle funzioni ellittiche.

Definizione

Si definisce q-serie ipergeometrica unilaterale in 2 k + 1 parametri e nella variabile z

_{k + 1} ϕ_{k} [\begin{matrix} a_{0}, & a_{1}, & a_{2}, & \dots, & a_{k} \\ b_{1}, & b_{2}, & \dots, & b_{k} \end{matrix}; q, z] = \sum_{n = 0}^{\infty} \frac{(a_{0}, a_{1}, a_{2}, \dots, a_{k}; q)_{n}}{(q, b_{1}, b_{2}, \dots, b_{k}; q)_{n}} z^{n}

dove

(a_{1}, a_{2}, \dots, a_{m}; q)_{n} = (a_{1}; q)_{n} (a_{2}; q)_{n} \dots (a_{m}; q)_{n}

è il q-fattoriale crescente.

La q-serie ipergeometrica bilaterale in 2 k parametri e nella variabile z viene definita come

_{k} ψ_{k} [\begin{matrix} a_{1}, & a_{2}, & \dots, & a_{k} \\ b_{1}, & b_{2}, & \dots, & b_{k} \end{matrix}; q, z] = \sum_{n = - \infty}^{\infty} \frac{(a_{1}, a_{2}, \dots, a_{k}; q)_{n}}{(b_{1}, b_{2}, \dots, b_{k}; q)_{n}} z^{n}

.

Semplici esempi

Alcuni semplici esempi di queste serie includono

\frac{z}{1 - q}_{2} ϕ_{1} [\begin{matrix} q, & q \\ q^{2} \end{matrix}; q, z] = \frac{z}{1 - q} + \frac{z^{2}}{1 - q^{2}} + \frac{z^{3}}{1 - q^{3}} + \dots

,

\frac{z}{1 - q^{1 / 2}}_{2} ϕ_{1} [\begin{matrix} q, & q^{1 / 2} \\ q^{3 / 2} \end{matrix}; q, z] = \frac{z}{1 - q^{1 / 2}} + \frac{z^{2}}{1 - q^{3 / 2}} + \frac{z^{3}}{1 - q^{5 / 2}} + \dots

e

_{2} ϕ_{1} [\begin{matrix} q, & - 1 \\ - q \end{matrix}; q, z] = 1 + \frac{2 z}{1 + q} + \frac{2 z^{2}}{1 + q^{2}} + \frac{2 z^{3}}{1 + q^{3}} + \dots

Semplici identità

Tra le identità più semplici segnaliamo

_{1} ϕ_{0} (a; q, z) = \prod_{n = 0}^{\infty} \frac{1 - a q^{n} z}{1 - q^{n} z}

e

_{1} ϕ_{0} (a; q, z) = \frac{1 - a z}{1 - z}_{1} ϕ_{0} (a; q, q z)

Il caso particolare relativo ad $a = 0$ è strettamente collegato alla funzione q-esponenziale.

Identità di Ramanujan

Ramanujan ha scoperto l'identità

_{1} ψ_{1} [\begin{matrix} a \\ b \end{matrix}; q, z] = \sum_{n = - \infty}^{\infty} \frac{(a; q)_{n}}{(b; q)_{n}} = \frac{(b / a; q)_{\infty} (q; q)_{\infty} (q / a z; q)_{\infty} (a z; q)_{\infty}}{(b; q)_{\infty} (b / a z; q)_{\infty} (q / a; q)_{\infty} (z; q)_{\infty}}

valida per $| q | < 1$ e $| b / a | < | z | < 1$ . Una fondamentale identità simile alla precedente concernente $_{6} ψ_{6}$ è stata data da Bailey. Si è capito che tale identità è una generalizzazione del teorema del triplo prodotto di Jacobi, il quale può essere scritto mediante la q-serie come

\sum_{n = - \infty}^{\infty} q^{n (n + 1) / 2} z^{n} = (q; q)_{\infty} (- 1 / z; q)_{\infty} (- z q; q)_{\infty}

.

Inoltre questa identità generalizza anche una analoga identità concernente un prodotto quintuplo.

Ken Ono propone una serie formale di potenze collegata

A (z; q) = \frac{1}{1 + z} \sum_{n = 0}^{\infty} \frac{(z; q)_{n}}{(- z q; q)_{n}} z^{n} = \sum_{n = 0}^{\infty} (- 1)^{n} z^{2 n} q^{n^{2}} .