Equazione xʸ = yˣ

In generale, l'elevamento a potenza non gode della proprietà commutativa. Tuttavia, l'equazione $x^y=y^x$ vale in casi speciali, come $x=2,y=4.$

Storia

L'equazione $x^y=y^x$ è menzionata in una lettera di Daniel Bernoulli a Christian Goldbach del 29 giugno 1728. La lettera afferma che quando $x\ne y$ le uniche soluzioni nell'insieme dei numeri naturali sono $(2,4)$ e $(4,2),$ sebbene ci siano infinite soluzioni nell'insieme dei numeri razionali, come

$(\frac{9}{4},\frac{27}{8}),(\frac{256}{81},\frac{64}{27}),(\frac{256}{81},\frac{625}{256}),\dots ,((1+\frac{1}{n}{)}^n,(1+\frac{1}{n}{)}^{(n+1)}).$

La risposta di Goldbach, del 31 gennaio 1729, contiene la soluzione generale dell'equazione, ottenuta con la sostituzione $y=vx.$ Una soluzione simile è stata trovata da Eulero.

J. van Hengel ha sottolineato che se $r,n$ sono numeri interi positivi con $r\ge 3$, allora $r^{r+n}>(r+n{)}^r$; quindi è sufficiente considerare le possibilità $x=1$ e $x=2$ per trovare soluzioni nei numeri naturali.

Il problema è stato discusso in numerose pubblicazioni. Nel 1960, l'equazione era tra le domande sulla William Lowell Putnam Competition, che spinse Alvin Hausner a estendere i risultati ai campi di numeri algebrici.

Soluzioni reali positive

Un insieme infinito di soluzioni banali nei numeri reali positivi è dato da $x=y.$ Le soluzioni non banali possono essere scritte esplicitamente come:

$y=\exp \left[-W_{-1}(-\frac{\ln x}{x})\right],\mathrm{p}\mathrm{e}\mathrm{r}1<x<e,$

$y=\exp \left[-W_0(-\frac{\ln x}{x})\right],\mathrm{p}\mathrm{e}\mathrm{r}e<x.$

Qui, $W_{-1}$ e $W_0$ rappresentano i rami negativi e principali della funzione W di Lambert.

Soluzioni non banali possono essere trovate più facilmente assumendo $x\ne y$ e ponendo $y=vx.$ Ne segue

$(vx{)}^x=x^{vx}=(x^v{)}^x.$

Elevando entrambi termini alla $\frac{1}{x}$ e dividendo per $x$, si ottiene

$v=x^{v-1}.$

Quindi le soluzioni non banali nei reali positivi sono espresse come

$x=v^{1/(v-1)},$

$y=v^{v/(v-1)}.$

Ponendo $v=2$ o $v=\frac{1}{2}$ si ottiene la soluzione non banale negli interi positivi: $4^2=2^4.$

Esistono altre coppie costituite da numeri algebrici, come $\sqrt{3}$ e $3\sqrt{3}$, così come $\sqrt[3]{4}$ e $4\sqrt[3]{4}$.

La parametrizzazione di cui sopra porta a una proprietà geometrica di questa curva: $x^y=y^x$ descrive la curva isoclina dove le funzioni potenza della forma $x^v$ hanno coefficiente angolare $v^2$ per una scelta reale positiva di $v\ne 1$. Per esempio, $x^8=y$ ha un coefficiente angolare di $8^2$ nel punto $(\sqrt[7]{8},{\sqrt[7]{8}}^8),$ che è anche un punto sulla curva $x^y=y^x.$

Le soluzioni banali e non banali si intersecano quando $v=1.$ Le equazioni precedenti non possono essere calcolate direttamente, ma si può prendere il limite per $v\to 1.$ Questo è più convenientemente fatto sostituendo $v=1+1/n$ e mandando $n\to \mathrm{\infty },$, così

$x=\underset{v\to 1}{\lim }{v}^{1/(v-1)}=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{(1+\frac{1}{n})}^n=e.$

Quindi, la retta $y=x$ e la curva $x^y-y^x=0,$ con $y\ne x,$ si intersecano in $x=y=e.$

Per $x\to \mathrm{\infty }$, la soluzione non banale è asintotica alla retta $y=1.$ Una forma asintotica più completa è

$y=1+\frac{\ln x}{x}+\frac{3}{2}\frac{(\ln x{)}^2}{x^2}+\cdots .$

Grafici simili

Equazione y^1/x=x^1/y

L'equazione $\sqrt[x]{y}=\sqrt[y]{x}$ ha un grafico in cui la curva $\sqrt[x]{y}-\sqrt[y]{x}=0,$ con $y\ne x,$ e la retta $y=x$ si intersecano nel punto $x=y=\frac{1}{e}$. Inoltre la curva $\sqrt[x]{y}-\sqrt[y]{x}=0,$ con $y\ne x,$ termina in $(0,1)$ e in $(1,0)$ invece di continuare all'infinito.

La curva $\sqrt[x]{y}-\sqrt[y]{x}=0,$ con $y\ne x,$ può essere scritta esplicitamente come

$y=e^{W_0(\ln (x^x))},\mathrm{p}\mathrm{e}\mathrm{r}0<x<1/e,$

$y=e^{W_{-1}(\ln (x^x))},\mathrm{p}\mathrm{e}\mathrm{r}1/e<x<1.$

Questa equazione descrive la curva isoclina in cui le funzioni potenza hanno coefficiente angolare 1, analoga alla proprietà geometrica di $x^y=y^x$ descritta sopra.

L'equazione $y^y=x^x$ mostra una curva identica.

Equazione log_x(y)=log_y(x)

L'equazione ${\log }_x(y)={\log }_y(x)$ ha un grafico in cui la curva ${\log }_x(y)-{\log }_y(x)=0,$ con $y\ne x,$ e la retta $y=x$ si intersecano in $(1,1).$ La curva ${\log }_x(y)-{\log }_y(x)=0,$ con $y\ne x,$ è asintotica a 0; è, infatti, il ramo nel primo quadrante dell'iperbole $y=\frac{1}{x}.$

Collegamenti esterni

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