Campo di numeri

In matematica un campo di numeri (o campo numerico) $K$ è un'estensione finita del campo $\mathbb{Q}$ dei numeri razionali. Questo significa che $K$ è un campo contenente $\mathbb{Q}$ ed ha dimensione finita come spazio vettoriale su $\mathbb{Q}$.

Lo studio dei campi di numeri e, più in generale, delle estensioni del campo dei numeri razionali, è uno degli argomenti principali della teoria algebrica dei numeri.

Definizione

Un campo algebrico di numeri o più semplicemente un campo di numeri $F$ è per definizione un sottocampo del campo dei numeri complessi $ℂ$ che sia un'estensione di grado finito $n$ del campo dei numeri razionali $\mathbb{Q}$.

Esempi

• Un primo esempio banale è il campo dei numeri razionali $\mathbb{Q}$, che è esso stesso un campo di numeri, essendo un'estensione di grado $1$ di $\mathbb{Q}$.

• Un esempio non banale sono i campi quadratici, cioè le estensioni $\mathbb{Q}[\sqrt{d}]$ con $d\in \mathbb{Z}\setminus \{0,1\}$ privo di fattori quadratici. Ovviamente se $d=-1$ allora $\mathbb{Q}[\sqrt{-1}]$ è il campo dei razionali gaussiani.

• Un altro esempio è l'$n$-esimo campo ciclotomico, cioè il campo $\mathbb{Q}[\zeta ]$ con $\zeta$ radice primitiva $n$-esima dell'unità, questo campo ha grado $[\mathbb{Q}[\zeta ]:\mathbb{Q}]=\phi (n)$ dove $\phi$ è la funzione di Eulero.

• Un "non" esempio è $ℝ\subset ℂ$, che è un'estensione di $\mathbb{Q}$ ma il suo grado è infinito, per cui non è un campo di numeri. Per vedere che $[ℝ:\mathbb{Q}]=\mathrm{\infty }$, basta ricordare che $ℝ$ ha cardinalità del continuo, mentre $\mathbb{Q}$ è numerabile.

Anelli di interi algebrici

Sappiamo dalla teoria dei campi che data un'estensione $K|F$, un elemento $k\in K$ è detto algebrico su $F$ se $k$ è radice di un polinomio monico $f(x)\in F[x]$, e chiamiamo estensioni algebriche le estensioni di campi i cui elementi sono tutti algebrici; in particolare se $F=\mathbb{Q}$ chiamiamo numero algebrico un elemento $\alpha \in ℂ$ che sia algebrico su $\mathbb{Q}$, inoltre se $\alpha \in ℂ$ è radice di un polinomio monico a coefficienti in $\mathbb{Z}$ diremo che $\alpha$ è un intero algebrico.

Ora, dato un campo di numeri $K$, definiamo $\overline{\mathbb{Z}}=\{\alpha \in ℂ|\alpha \text{radice di un polinomio monico}f(x)\in \mathbb{Z}[x]\}$ (si dimostra che $\overline{\mathbb{Z}}$ è un anello), si definisce ${𝒪}_K=\overline{\mathbb{Z}}\cap K$ anello degli interi algebrici di $K$.

In generale dato un campo di numeri $K$, il rispettivo anello degli interi ${𝒪}_K$ non è un UFD (vedi esempio sotto), ma è possibile dimostrare che gode di altre interessanti proprietà, in particolare, che è un dominio di Dedekind, per cui ammette una fattorizzazione unica in termini di ideali primi.

Esempio

Dato il campo quadratico $F=\mathbb{Q}[\sqrt{-5}]$, si ha $\mathbb{Z}[\sqrt{-5}]\subset {𝒪}_F$ (in realtà si può dimostrare che ${𝒪}_F=\mathbb{Z}[\sqrt{-5}]$), per cui abbiamo

$3\cdot 2=6=(1-\sqrt{-5})(1+\sqrt{-5}),$

dunque ${𝒪}_F$ non è UFD.

Bibliografia

• Template:En Template:Cita pubblicazione
• Template:En Serge Lang, Algebraic Number Theory, second edition, Springer, 2000
• Template:En Richard A. Mollin, Algebraic Number Theory, CRC, 1999
• Template:En Ram Murty, Problems in Algebraic Number Theory, Second Edition, Springer, 2005
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• Template:En André Weil, Basic Number Theory, third edition, Springer, 1995

Voci correlate

• Campo quadratico
• Campo ciclotomico
• Estensione di campi
• Teoria dei campi (matematica)
• Teoria algebrica dei numeri

Collegamenti esterni

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