Equazione di Pauli

L'equazione di Pauli, dal nome del fisico austriaco Wolfgang Pauli che l'ha formulata nel 1927, è una estensione dell'equazione di Schrödinger relativa a una particella di spin 1/2, come ad esempio un elettrone, che interagisce con il campo elettromagnetico. Rappresenta il limite non-relativistico dell'equazione di Dirac, vale a dire il limite per particelle la cui velocità è sufficientemente bassa da poter trascurare gli effetti relativistici.

L'equazione e la derivata covariante

L'equazione di Pauli si scrive:

$i\hslash \frac{\partial }{\partial t}\psi (𝐫,t)=[\frac{1}{2m}(\overrightarrow{\mathit{\sigma }}\cdot (\overrightarrow{𝐩}-q\overrightarrow{𝐀}){)}^2+q\varphi ]\psi (𝐫,t)$

Dove:

• $m$ è la massa della particella;
• $q$ la carica elettrica;
• $\overrightarrow{\mathit{\sigma }}$ sono le tre matrici di Pauli;
• $\overrightarrow{𝐩}$ è l'operatore momento dato da $-i\hslash \overrightarrow{\mathrm{\nabla }}$;
• $\overrightarrow{𝐀}$ è il potenziale vettore, legato al campo magnetico;
• $\varphi$ è il potenziale scalare, legato al campo elettrico;
• $\psi (𝐫,t)$ è lo spinore funzione d'onda a due componenti.

L'equazione può essere collegata all'equazione di Schrödinger se si sostituiscono le normali derivate parziali con le derivate covarianti:

$\frac{\partial }{\partial t}\to \frac{\partial }{\partial t}-\frac{q}{i\hslash }\varphi$,

$\overrightarrow{𝐩}\to \overrightarrow{𝐩}-q\overrightarrow{𝐀}$.

Questa sostituzione è alla base delle teorie di gauge.