Equazione di Born-Landé

L'equazione di Born-Landé rappresenta un modo di calcolare l'energia reticolare di un composto ionico cristallino. Fu elaborata nel 1918 da Max Born e Alfred Landé che proposero di tenere conto, oltre all'energia coulombiana derivata dalle interazioni elettrostatiche, del contributo delle interazioni repulsive a corto raggio tra gli ioni.

Derivazione

Applicando la legge di Coulomb è possibile calcolare l'energia potenziale legata alle interazioni fra gli ioni che costituiscono il reticolo cristallino. Sommando algebricamente i singoli contributi delle interazioni con uno ione preso come riferimento, e tenendo conto che la carica totale di un anione e un catione è pari a ze, dove z è la singola carica ed e la carica elementare, per una mole di ioni si perviene a

$E=-\frac{\alpha }{r}\cdot \frac{|z_1||z_2|N_A{e}^2}{4\pi {\epsilon }_0}$

dove α è la costante di Madelung, N_A la costante di Avogadro, ε₀ la permettività del vuoto, r la distanza tra gli ioni.

Born e Landé suggerirono di inserire il termine repulsivo $\frac{B}{r^n}$, dove B è una costante, r la distanza fra gli ioni, n il coefficiente di Born che assume valore compreso tra 5 e 12. Questo coefficiente può essere ricavato sperimentalmente da misure di comprimibilità oppure in modo teorico.

Quindi, l'espressione dell'energia reticolare (eq. di Born-Landè) diviene:

$E=-\frac{\alpha }{r}\cdot \frac{|z_1||z_2|N_A{e}^2}{4\pi {\epsilon }_0}+\frac{B}{r^n}$

Ricavando il valore di B differenziando l'equazione precedente rispetto a dr, ovvero dall'espressione che fornisce il valore di r per il quale l’energia reticolare è minima, e sostituendo tale valore nell'equazione per il calcolo dell'energia reticolare, si ottiene infine l'equazione di Born-Landé nel punto di minimo della funzione

$E(r_{\text{minimo}})=-|z_1||z_2|\frac{\alpha }{r_{\text{minimo}}}(1-\frac{1}{n})\cdot \frac{N_A{e}^2}{4\pi {\epsilon }_0}$

Voci correlate

• Equazione di Kapustinskij

Collegamenti esterni

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