Equazione della corda vibrante

Template:Torna a L'equazione della corda vibrante è il caso unidimensionale dell'equazione delle onde, ed è usata per descrivere il fenomeno della corda vibrante. L'equazione per le vibrazioni libere della corda (equazione omogenea) è:

$\frac{{\partial }^{2}u}{\partial t^2}-a^2\frac{{\partial }^{2}u}{\partial x^2}=0$

mentre l'equazione per le corde vibranti forzate (o trasversali) è:

$\frac{{\partial }^{2}u}{\partial t^2}-a^2\frac{{\partial }^{2}u}{\partial x^2}=f$

In generale la soluzione dipende da due condizioni iniziali:

$u(x,t=0)=w_1$

$\frac{\partial u}{\partial t}(x,t=0)=w_2$

che in caso di corda infinita devono essere condizioni definite in tutto $(-\mathrm{\infty },+\mathrm{\infty })$. Nel caso la corda sia finita e di lunghezza $l$, si devono invece imporre le ulteriori condizioni sulla variabile $x$:

$u(x=0,t)=0$

$u(x=l,t)=0$

Soluzione di D'Alembert

La soluzione di D'Alembert consiste nella sostituzione:

$\{\begin{array}{c}X=x-at\\ Y=x+at\end{array}$

L'equazione omogenea si trasforma di conseguenza; derivando una prima volta:

$\{\begin{array}{c}\frac{\partial u}{\partial x}=\frac{\partial u}{\partial X}+\frac{\partial u}{\partial Y}\\ \frac{\partial u}{\partial t}=a\cdot (\frac{\partial u}{\partial Y}-\frac{\partial u}{\partial X})\end{array}$

e derivando una seconda volta:

$\{\begin{array}{c}\frac{{\partial }^{2}u}{\partial x^2}=\frac{{\partial }^{2}u}{\partial X^2}+2\cdot \frac{{\partial }^{2}u}{\partial X\partial Y}+\frac{{\partial }^{2}u}{\partial Y^2}\\ \frac{{\partial }^{2}u}{\partial t^2}=a^2\cdot (\frac{{\partial }^{2}u}{\partial X^2}-2\cdot \frac{{\partial }^{2}u}{\partial X\partial Y}+\frac{{\partial }^{2}u}{\partial Y^2})\end{array}$

Dunque:

$\frac{{\partial }^{2}u}{\partial X\partial Y}=0$

la cui soluzione generale è data da:

$u(X,Y)=g_1(X)+g_2(Y)=u(x,t)=g_1(x-at)+g_2(x+at)$

Si determinano le due funzioni generiche $g_1$ e $g_2$ imponendo le condizioni iniziali:

$\{\begin{array}{c}u=g_1(x)+g_2(x)=w_1\\ \frac{\partial u}{\partial t}=a\cdot (-g_1^{\text{'}}(x-at)+g_2^{\text{'}}(x+at))=w_2\end{array}$

da cui si ha:

$\{\begin{array}{c}{g}_1(x)+g_2(x)=w_1\\ -g_1^{\text{'}}(x)+g_2^{\text{'}}(x)=\frac{w_2}{a}\end{array}$

Si può integrare la seconda del sistema (cambiando segno):

$g_1(x)-g_2(x)=-\frac{1}{a}\underset{0}{\overset{x}{\int }}{w}_2(z)dz+C$

nella quale si impone $C=0$. Dal sistema:

$\{\begin{array}{c}{g}_1(x)+g_2(x)=w_1\\ g_1(x)-g_2(x)=-\frac{1}{a}\underset{0}{\overset{x}{\int }}{w}_2(z)dz\end{array}$

che diventa:

$\{\begin{array}{c}{g}_1(x)=\frac{1}{2}{w}_1-\frac{1}{2a}\cdot \underset{0}{\overset{x}{\int }}{w}_2(z)dz\\ g_2(x)=\frac{1}{2}{w}_1+\frac{1}{2a}\cdot \underset{0}{\overset{x}{\int }}{w}_2(z)dz\end{array}$

si ha la soluzione dell'equazione vibrante libera:

$u(x,t)=\frac{w_1(x-at)+w_1(x+at)}{2}+\frac{1}{2a}\cdot \underset{x-at}{\overset{x+at}{\int }}{w}_2(z)dz$

Casi particolari

• Nel caso le condizioni iniziali siano:

$\{\begin{array}{c}u(x,t=0)=w_1\\ \frac{\partial u}{\partial t}(x,t=0)=w_2=0\end{array}$

la soluzione diventa:

$u(x,t)=\frac{w_1(x-at)+w_1(x+at)}{2}$

• Nel caso le condizioni iniziali siano:

$\{\begin{array}{c}u(x,t=0)=w_1=0\\ \frac{\partial u}{\partial t}(x,t=0)=w_2\end{array}$

la nostra soluzione diventa:

$u(x,t)=\frac{1}{2a}\cdot \underset{x-at}{\overset{x+at}{\int }}{w}_2(z)dz$

Metodo di Fourier

Nel caso di una corda di lunghezza finita di lunghezza $l$, con le condizioni aggiuntive ai limiti, è intuitivo usare il metodo di separazione delle variabili o "metodo di Fourier". Consiste nella ricerca di una soluzione particolare dell'equazione omogenea del tipo:

$u=T(t)\cdot X(x)$

cioè con il prodotto di due termini, di cui uno dipendente solo dalla variabile $x$ e l'altro solo dalla variabile $t$. Sostituendo nell'equazione omogenea e derivando due volte si ottiene:

$X(x)\cdot T^{″}(t)=a^2\cdot T(t)\cdot X^{″}(x)$

da cui:

$\frac{T^{″}(t)}{a^2\cdot T(t)}=\frac{X^{″}(x)}{X(x)}$

Affinché sussista la disuguaglianza, entrambi i membri devono essere uguali alla stessa costante:

$\frac{T^{″}(t)}{a^2\cdot T(t)}=\frac{X^{″}(x)}{X(x)}=-K^2$

dalla quale si ottengono due equazioni in una sola variabile:

$\{\begin{array}{c}{X}^{″}(x)+K^2\cdot X(x)=0K\ne 0\\ T^{″}(t)+a^2\cdot K^2\cdot T(t)=0K\ne 0\end{array}$

Le soluzioni di queste equazioni sono del tipo:

$\{\begin{array}{c}X(x)=A\cos (Kx)+B\sin (Kx)\\ T(t)=C\cos (aKt)+D\sin (aKt)\end{array}$

Dunque la soluzione generale dell'equazione omogenea diverrebbe:

$u=[A\cos (Kx)+B\sin (Kx)]\cdot [C\cos (aKt)+D\sin (aKt)]$.

I coefficienti $A$ e $B$ si calcolano imponendo le condizioni ai limiti:

$\{\begin{array}{c}X(x=0)=A\cdot 1+B\cdot 0=0\\ X(x=l)=A\cos (Kl)+B\sin (Kl)=0\end{array}$

da cui:

$\{\begin{array}{c}A=0\\ B\sin (Kl)=0B\ne 0\end{array}$

e quindi:

$K=\pm \frac{n\pi }{l}$

La soluzione negativa è identica a quella positiva, per cui si considera solo quella positiva. Sapendo che la soluzione è:

$u=[C\cos (aKt)+D\sin (aKt)]\cdot \sin (Kx)$.

dal momento che si tratta di una soluzione anche tutte le somme sono soluzioni; dunque si può scegliere $K=n\pi /l$ e sommare:

$u=\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}[C_n\cos \left(\frac{n\pi at}{l}\right)+D_n\sin \left(\frac{n\pi at}{l}\right)]\cdot \sin \left(\frac{n\pi x}{l}\right)$

Ora si possono trovare i coefficienti $C_n$ e $D_n$ in modo da soddisfare le condizioni iniziali. Derivando quest'ultima rispetto a $t$ e imponendo $t=0$ si ottiene:

$w_1=\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{C}_n\sin \frac{n\pi x}{l}{w}_2=\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{n\pi a}{l}\cdot D_n\sin \frac{n\pi x}{l}$

che sono gli sviluppi in serie di Fourier delle $w_1,w_2$ in serie di seni in $[0,l]$. In definitiva:

$C_n=\frac{2}{l}\underset{0}{\overset{l}{\int }}{w}_1\sin \frac{n\pi z}{l}dz{D}_n=\frac{2}{n\pi a}\underset{0}{\overset{l}{\int }}{w}_2\sin \frac{n\pi z}{l}dz$

che sostituiti forniscono la soluzione:

$u=\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}[(\frac{2}{l}\underset{0}{\overset{l}{\int }}{w}_1\sin \frac{n\pi z}{l}dz)\cos \left(\frac{n\pi at}{l}\right)+(\frac{2}{n\pi a}\underset{0}{\overset{l}{\int }}{w}_2\sin \frac{n\pi z}{l}dz)\sin \left(\frac{n\pi at}{l}\right)]\cdot \sin \left(\frac{n\pi x}{l}\right)$

Bibliografia

• Template:En Molteno, T. C. A.; N. B. Tufillaro (September 2004). "An experimental investigation into the dynamics of a string". American Journal of Physics 72 (9): 1157–1169.
• Template:En Tufillaro, N. B. (1989). "Nonlinear and chaotic string vibrations". American Journal of Physics 57 (5): 408.

Voci correlate

• Equazione delle onde
• Equazione di Lagrange
• Equazione differenziale alle derivate parziali iperbolica
• Onda piana

Collegamenti esterni

• Template:Cita web
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• Template:En "The Vibrating String" by Alain Goriely and Mark Robertson-Tessi, The Wolfram Demonstrations Project.