Equazione di Lagrange

In matematica, l'equazione di Lagrange, anche nota come equazione di d'Alembert o equazione di d'Alembert-Lagrange, che prende il nome da Jean d'Alembert e Joseph Louis Lagrange, è un'equazione differenziale del primo ordine della forma:

$y=xf(y^{\prime })+g(y^{\prime })$

dove $f$ e $g$ sono funzioni reali derivabili note. La precedente è talvolta ottenuta riducendo (se possibile) l'equazione:

$h(y^{\prime })=xf(y^{\prime })+yg(y^{\prime })$

Un caso particolare è l'equazione di Clairault.

Metodo risolutivo

Ponendo $y^{\prime }=z$, si riscrive:

$y=xf(z)+g(z)$

Derivando rispetto a $x$, si ottiene:

$z-f(z)=\frac{dz}{dx}[x{f}^{\prime }(z)+g^{\prime }(z)]$

Se il primo termine, uguagliato a zero, ha delle radici $z_1,\cdots ,z_n$, la funzione $z^{\prime }$ è nulla per quei valori. Si hanno quindi delle soluzioni particolari:

$y=z_{k}x+g(z_k)k\in \{1,\cdots ,n\}$

Laddove $f(z)$ è diversa da $z$, si può riscrivere l'equazione derivata come:

$\frac{dx}{dz}=x\frac{f^{\prime }(z)}{z-f(z)}+\frac{g^{\prime }(z)}{z-f(z)}*$

che è un'equazione differenziale lineare del primo ordine in $x$, la cui soluzione può essere ricercata con i metodi usuali. Sia $x=h(z,C)$ tale soluzione; allora la soluzione parametrica dell'equazione di d'Alembert è:

$\{\begin{array}{cc}& x=h(z,C)\\ & y=f(z)h(z,C)+g(z)**\end{array}$

Esempio

Sia dato:

$y=xy{\text{'}}^2+\frac{3}{2}y{\text{'}}^2-y{\text{'}}^3$

Per trovare le soluzioni di $z-f(z)$:

$z-z^2=0\Rightarrow z\in \{0,1\}$

le soluzioni particolari sono:

$\{\begin{array}{cc}& y=0\\ & y=x+\frac{1}{2}\end{array}$

Applicando la $*$ si ottiene la scrittura:

$\frac{dx}{dz}=\frac{2x}{1-z}+3\frac{z-z^2}{z-z^2}$

la cui soluzione è:

$x=z-1+\frac{1+c}{(z-1{)}^2}$

Sostituendo nella $**$ si ha:

$\{\begin{array}{cc}& x=z-1+\frac{1+c}{(z-1{)}^2}\\ & y=z^2(z-1+\frac{1+c}{(z-1{)}^2})+\frac{3}{2}{z}^2-z^3\end{array}$

È possibile eliminare la z risolvendo una delle due equazioni sopra, e sostituendo. Ad esempio, la prima ha come soluzione reale

$z={}^3\sqrt{\frac{\sqrt{(c+1)(27+27c-4x^3)}}{6\sqrt{3}}+\frac{2x^3-27c-27}{54}}+\frac{x^2}{9{}^3\sqrt{\frac{\sqrt{(c+1)(27+27c-4x^3)}}{6\sqrt{3}}+\frac{2x^3-27c-27}{54}}}+\frac{1}{3}(x+3)$

È evidente il motivo per cui, a parte fortunate eccezioni, si preferisce lasciare le soluzioni come parametriche.

Bibliografia

• Template:En J.L. Lagrange, "Sur l'intégration d'une équation différentielle" J.A. Serret (ed.) , Oeuvres , 1 , G. Olms, reprint (1973) pp. 21–36
• Template:En W.W. Stepanow, "Lehrbuch der Differentialgleichungen" , Deutsch. Verlag Wissenschaft. (1956)

Voci correlate

• Equazione di Clairault

Collegamenti esterni

• Template:Collegamenti esterni