Distanza di Minkowski

In matematica, la distanza di Minkowski è una distanza in uno spazio euclideo che può essere considerata una generalizzazione sia della distanza euclidea sia della distanza di Manhattan.

Definizione

La distanza di Minkowski di ordine $p$ tra due punti $P=(x_1,x_2,\dots ,x_n)$ e $Q=(y_1,y_2,\dots ,y_n)$ in ${ℝ}^n$ è definita come:

${(\sum _{i=1}^n|x_i-y_i{|}^p)}^{1/p}$

Questa distanza si usa tipicamente con $p=1$ o $p=2$: il primo caso riconduce alla distanza di Manhattan, mentre il secondo rappresenta la distanza euclidea.

Per $p\ge 1$ la distanza di Minkowski è una metrica, nel senso che soddisfa la disuguaglianza triangolare come conseguenza della disuguaglianza di Minkowski. Quando $p<1$, la distanza tra $(0,0)$ e $(1,1)$ è $2^{1/p}>2$, ma il punto $(0,1)$ è a distanza 1 da entrambi.

Nel caso limite in cui $p$ tende a infinito si ha la distanza di Čebyšëv:

$\underset{p\to +\mathrm{\infty }}{\lim }{(\sum _{i=1}^n|x_i-y_i{|}^p)}^{\frac{1}{p}}={\max }_{i=1}^n|x_i-y_i|$

Per $p$ che tende a $-\mathrm{\infty }$, in modo simile si ha:

$\underset{p\to -\mathrm{\infty }}{\lim }{(\sum _{i=1}^n|x_i-y_i{|}^p)}^{\frac{1}{p}}={\min }_{i=1}^n|x_i-y_i|$

Cerchio unitario (luogo dei punti equidistanti dall'origine) per diversi valori di p.

Bibliografia

• Template:En John P. van de Geer, Some Aspects of Minkowski Distance, Leiden University, Department of Data Theory, 1995.

Voci correlate

• Distanza (matematica)
• Distanza di Čebyšëv
• Distanza euclidea
• Geometria del taxi

Collegamenti esterni

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