Distribuzione di Rayleigh

Template:F Template:Variabile casuale In teoria delle probabilità la distribuzione di Rayleigh è una distribuzione di probabilità che descrive la distanza dall'origine di un punto $(X,Y)$ nel piano euclideo le cui coordinate siano indipendenti e seguano entrambe la distribuzione normale centrata.

Prende il nome da Lord Rayleigh.

Definizione

La distribuzione di Rayleigh di parametro ${\sigma }^2>0$ descrive la variabile aleatoria $Z=\sqrt{X^2+Y^2}$, dove $X$ e $Y$ sono variabili aleatorie indipendenti aventi entrambe distribuzione normale $𝒩(0,{\sigma }^2)$.

La sua funzione di densità di probabilità è

$f(z)=\frac{z}{{\sigma }^2}{e}^{-\frac{z^2}{2{\sigma }^2}}$.

Questa si può ottenere direttamente dalla densità di probabilità della distribuzione normale, $\varphi (x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi {\sigma }^2}}{e}^{-\frac{x^2}{2{\sigma }^2}}$, sfruttando l'isotropia del vettore $(X,Y)$:

$f(z)=\underset{x^2+y^2=z^2}{\int }\varphi (x)\varphi (y)d\mu =2\pi z\frac{1}{2\pi {\sigma }^2}{e}^{-\frac{z^2}{2{\sigma }^2}}$.

La sua funzione di ripartizione è

$F(z)=1-e^{-\frac{z^2}{2{\sigma }^2}}$.

La variabile aleatoria $kZ=\sqrt{(kX{)}^2+(kY{)}^2}$ segue la distribuzione di Rayleigh di parametro $k^2{\sigma }^2$.

Caratteristiche

La variabile aleatoria $Z$ con distribuzione di Rayleigh di parametro ${\sigma }^2$ ha

• momenti semplici

${\mu }_n=E[Z^n]=(2{\sigma }^2{)}^{\frac{n}{2}}\mathrm{\Gamma }(1+\frac{n}{2})$

dove $\mathrm{\Gamma }$ è la funzione Gamma, con $\mathrm{\Gamma }(\frac{n}{2}+1)=\frac{n}{2}!$ se $n$ è pari.

In particolare si ottengono

• la speranza matematica

$E[X]=\sqrt{\frac{\pi }{2}{\sigma }^2}$;

• la varianza

$\text{Var}(X)=E[X^2]-E[X{]}^2=2{\sigma }^2-\frac{\pi }{2}{\sigma }^2=\frac{4-\pi }{2}{\sigma }^2$;

• gli indici di asimmetria e curtosi

${\gamma }_1=\frac{2\sqrt{\pi }\pi -3}{(4-\pi {)}^{\frac{3}{2}}}\approx 0,631$ e ${\gamma }_2=-2\frac{3{\pi }^2-12\pi +8}{(4-\pi {)}^2}\approx 0,245$.

I quantili $q_{\alpha }$ di ordine $\alpha$ sono

$q_{\alpha }=\sqrt{2{\sigma }^2\log \frac{1}{1-\alpha }}$;

in particolare

• la mediana è $\sqrt{2{\sigma }^2\log 2}=\sqrt{{\sigma }^2\log 4}$.

Statistica

Secondo il metodo della massima verosimiglianza lo stimatore del parametro ${\sigma }^2$ di $n$ variabili aleatorie indipendenti con medesima distribuzione di Rayleigh è

$S^2=\frac{X_1^2+...+X_n^2}{2n}$.

Altre distribuzioni

Se $Z=\sqrt{X^2+Y^2}$ segue la distribuzione di Rayleigh di parametro ${\sigma }^2$ allora $(Z/\sigma {)}^2$ segue la distribuzione chi quadrato ${\chi }^2(2)$, ovvero la distribuzione esponenziale $ℰ(\frac{1}{2})$.

La distribuzione di Maxwell-Boltzmann estende a tre dimensioni la distribuzione di Rayleigh, descrivendo la distanza $\sqrt{X^2+Y^2+Z^2}$ dall'origine di un vettore $(X,Y,Z)$ nello spazio euclideo a tre dimensioni, le cui coordinate siano indipendenti e seguano la medesima legge normale centrata.

La distribuzione di Rice generalizza invece la posizione del punto $(X,Y)$, prendendo $X$ e $Y$ non centrate.

Anche la distribuzione di Weibull è una generalizzazione della distribuzione di Rayleigh, fornendo un'interpolazione tra la distribuzione esponenziale e la distribuzione di Rayleigh.

Voci correlate

• Distribuzione normale
• John William Strutt Rayleigh

Collegamenti esterni

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