Distribuzione Lambda di Wilks

In teoria della probabilità la distribuzione Lambda di Wilks è una distribuzione di probabilità continua, dipendente da tre parametri, utilizzata nei test di verifica d'ipotesi nell'ambito della statistica multivariata. Le distribuzioni di Fisher-Snedecor (ed in particolare la t di Student) e T di Hotelling sono dei casi particolari della Lambda di Wilks.

Lambda di Wilks e la variabile casuale di Wishart

Siano date due variabili casuali indipendenti con distribuzione di Wishart

$A\sim W_p(I,m)B\sim W_p(I,n)$

e con $m\ge p$, allora la distribuzione Lambda di Wilks è definita da

$\lambda =\frac{|A|}{|A+B|}=\frac{1}{|I+A^{-1}B|}\sim \mathrm{\Lambda }(p,m,n).$

Lambda di Wilks e la variabile casuale Beta

Siano date le n variabili casuali distribuite come una variabile casuale Beta

$u_i\sim B(\frac{m+i-p}{2},\frac{p}{2})$

allora

$\prod _{i=1}^n{u}_i\sim \mathrm{\Lambda }(p,m,n).$

Dal che si ottiene la variabile casuale Beta come un caso particolare della Lambda di Wilks, in quanto

$\mathrm{\Lambda }(p,m,1)\sim B(\frac{m+1-p}{2},\frac{p}{2})$

e di conseguenza $\mathrm{\Lambda }(2,3,1)$ corrisponde alla variabile casuale rettangolare definita tra zero e uno.

Lambda di Wilks approssimata dalla variabile casuale Chi quadrato

Per m grande, l'approssimazione di Bartelett permette di approssimare una Lambda di Wilks con una variabile casuale chi quadro

$(\frac{p-n+1}{2}-m)\log \mathrm{\Lambda }(p,m,n)\sim {\chi }_{np}^2.$