Dimostrazioni del limite di una funzione

Template:Torna a Nella pagina seguente vengono riportate tutte le dimostrazioni dei teoremi contenuti nell'articolo limite di una funzione, perciò per fare riferimento a eventuali applicazioni si prega di fare riferimento alla relativa pagina.

Teorema di unicità

Sia:

$\underset{x\to x_0}{\lim }f(x)=l_1$ e $\underset{x\to x_0}{\lim }f(x)=l_2$

allora:

$l_1=l_2$

Dimostrazione

La dimostrazione del teorema procede per assurdo. Presi:

$\underset{x\to x_0}{\lim }f(x)=l_1$ e $\underset{x\to x_0}{\lim }f(x)=l_2$

con $l_1\ne l_2$, allora esistono due intorni $V_1$ di $l_1$ e $V_2$ di $l_2$ tali che siano disgiunti ($V_1\cap V_2=\mathrm{\varnothing }$). Per definizione devono esistere due intorni $U_1$ e $U_2$ di $x_0$ per cui vale:

• $f(x)\in V_1$ se $x\in U_1$
• $f(x)\in V_2$ se $x\in U_2$

Dunque prendendo l'intorno di $x_0$ costruito come $U_1\cap U_2$, dovrebbe succedere, contemporaneamente, che $f(x)\in V_1$ e $f(x)\in V_2$, il che è assurdo. Da tali procedimenti si è arrivati a dire che, nonostante siano stati presi due intorni disgiunti dei limiti, l'intersezione tra gli intorni non è vuota, cioè praticamente non esistono intorni disgiunti dei limiti. Questo però, per la proprietà di separazione (o di Hausdorff), deve sempre accadere se i limiti sono distinti, in conclusione allora i limiti devono per forza essere uguali.

Teorema della permanenza del segno

Se il limite della funzione risulta positivo allora anche la funzione è positiva.

Sia $f$ una funzione continua nel suo dominio, $f:X\subseteq ℝ\to ℝ$ e $x_0,l\in {ℝ}^{*}$ con $x_0$ di accumulazione per $X$, allora:

$\underset{x\to x_0}{\lim }f(x)=l>0(<0)\to f(x)>0(<0)\text{ per }x\to x_0$

Infatti, si ponga $l\in ℝ,l>0$. Preso l'intorno $V=(l-\epsilon ;l+\epsilon )$ con $0<\epsilon <l$. Allora, per definizione di limite, esiste un intorno $U$ di $x_0$, per il quale:

$f(x)\in V\mathrm{\forall }x\in U\cap X\mathrm{\setminus }\left\{x_0\right\}$

cioè:

$l+\epsilon >f(x)>l-\epsilon >0$

È possibile eseguire la stessa dimostrazione per $+\mathrm{\infty }$ e $-\mathrm{\infty }$.

Criterio di regolarità per confronto

Siano $f,g,h:X\subseteq ℝ\to ℝ$, $f,g,h\in C^0(X;ℝ)$, e $x_0$ un punto di accumulazione per $X$. Se:

$\underset{x\to x_0}{\lim }f(x)=\underset{x\to x_0}{\lim }h(x)=l$

e se esiste un intorno $U$ di $x_0$ tale che risulti:

$f(x)\le g(x)\le h(x)\mathrm{\forall }x\in U\cap X\mathrm{\setminus }\left\{x_0\right\}$

allora:

$\underset{x\to x_0}{\lim }g(x)=l$

Dimostrazione

Sia $l\in ℝ$. Preso un intorno $V$ di $l$, $(l-\epsilon ,l+\epsilon )$ esistono intorni $U_1$ e $U_2$ di $x_0$.

Per definizione si ha:

$x\ne x_0\in U_1\to f(x)\in Vx\ne x_0\in U_2\to h(x)\in V$

Allora, preso l'intorno $U=U_1\cap U_2$ di $x_0$, succede, per ipotesi, che:

$l-\epsilon \le f(x)\le g(x)\le h(x)\le l+\epsilon$

cioè:

$x\in U\mathrm{\setminus }\left\{x_0\right\}\to g(x)\in V$

Del tutto analoga la dimostrazione per i casi $l=\pm \mathrm{\infty }$, ma in questi due casi, basterà sono una funzione che maggiori (o minori) la funzione che si sta studiando.

Operazioni con i limiti

Template:Vedi anche Sia $f:X_f\subseteq ℝ\to ℝ,g:X_g\subseteq ℝ\to ℝ,X_f\cap X_g\ne \varnothing$ e $x_0$ un punto di accumulazione per $X_f,X_g$.

Se esistono

$\underset{x\to x_0}{\lim }f(x)=l_1\underset{x\to x_0}{\lim }g(x)=l_2$

allora:

• $\underset{x\to x_0}{\lim }(c\cdot f(x))=c\cdot l_{1}c\in ℝ$
• $\underset{x\to x_0}{\lim }(f(x)\pm g(x))=l_1\pm l_2$
• $\underset{x\to x_0}{\lim }(f(x)\cdot g(x))=l_1\cdot l_2$
• $\underset{x\to x_0}{\lim }\frac{1}{f(x)}=\frac{1}{l_1}{l}_1\ne 0$
• $\underset{x\to x_0}{\lim }\frac{f(x)}{g(x)}=\frac{l_1}{l_2}{l}_2\ne 0$

Bibliografia

• Template:En Miller, N. Limits Waltham, MA: Blaisdell, 1964
• Template:En R. Courant, Differential and integral calculus , 1–2 , Blackie (1948)

Voci correlate

• Limite di una funzione
• Operazioni con i limiti