Operazioni con i limiti

Template:Torna a In analisi matematica, le operazioni con i limiti sono delle operazioni volte a calcolare il limite di un oggetto (solitamente una successione o funzione) a partire dal limite di oggetti più semplici, tramite operazioni aritmetiche come somma e prodotto.

Operazioni con i limiti di funzione

Siano:

$f:X_f\subseteq ℝ\to ℝg:X_g\subseteq ℝ\to ℝ$

due funzioni definite su domini $X_f,X_g$ non disgiunti, e sia $x_0$ un punto di accumulazione per $X_f\cap X_g$.

Se esistono i limiti:

$\underset{x\to x_0}{\lim }f(x)=l_1\underset{x\to x_0}{\lim }g(x)=l_2$

allora:

• $\underset{x\to x_0}{\lim }(c\cdot f(x))=c\cdot l_{1}c\in ℝ$
• $\underset{x\to x_0}{\lim }(f(x)\pm g(x))=l_1\pm l_2$
• $\underset{x\to x_0}{\lim }(f(x)\cdot g(x))=l_1\cdot l_2$
• $\underset{x\to x_0}{\lim }\frac{1}{f(x)}=\frac{1}{l_1}\text{se }{l}_1\ne 0$
• $\underset{x\to x_0}{\lim }\frac{f(x)}{g(x)}=\frac{l_1}{l_2}\text{se }{l}_2\ne 0$

Nei due ultimi punti, le frazioni si intendono definite solo dove il denominatore è non nullo.

Dimostrazione

Preso:

$|f(x)-l_1|<ϵ$

si ottiene direttamente:

$c\cdot |f(x)-l_1|<c\cdot ϵ\to |c\cdot f(x)-c\cdot l_1|<c\cdot ϵ$

a questo punto il teorema è dimostrato perché concorda con la definizione di limite.

Presi:

$|f(x)-l_1|<ϵ$ e $|g(x)-l_2|<ϵ$

dall'espressione:

$|f(x)\pm g(x)-(l_1\pm l_2)|$

per la disuguaglianza triangolare si ottiene:

$|f(x)\pm g(x)-(l_1\pm l_2)|<|f(x)-l_1|+|g(x)-l_2|$

$|f(x)\pm g(x)-(l_1\pm l_2)|<2\cdot ϵ$

a questo punto il teorema è dimostrato perché concorda con la definizione di limite.

Preso:

$f(x)\cdot g(x)-l_1\cdot l_2$

aggiungendo e togliendo $g(x)\cdot l_1$ si ottiene:

$g(x)\cdot (f(x)-l_1)+l_1\cdot (g(x)-l_2)$

posti:

$|f(x)-l_1|<ϵ$ e $|g(x)-l_2|<ϵ$

Operazioni sulla retta estesa

Alcune delle uguaglianze elencate sono estendibili ai casi in cui $l_1$ e/o $l_2$ sia infinito. Ad esempio, se $l_1=\pm \mathrm{\infty }$ e $l_2$ è finito, valgono le relazioni seguenti:

• $f(x)\to \pm \mathrm{\infty },c>0\to \underset{x\to x_0}{\lim }(c\cdot f(x))=\pm \mathrm{\infty }$
• $f(x)\to \pm \mathrm{\infty },c<0\to \underset{x\to x_0}{\lim }(c\cdot f(x))=\mp \mathrm{\infty }$
• $f(x)\to \pm \mathrm{\infty }\to \underset{x\to x_0}{\lim }(f(x)+g(x))=\pm \mathrm{\infty }$
• $f(x)\to \pm \mathrm{\infty }\to \underset{x\to x_0}{\lim }(f(x)-g(x))=\pm \mathrm{\infty }$
• $f(x)\to \pm \mathrm{\infty }\to \underset{x\to x_0}{\lim }\frac{1}{f(x)}=0^{\pm }$
• $f(x)\to 0^{\pm }\to \underset{x\to x_0}{\lim }\frac{1}{f(x)}=\pm \mathrm{\infty }$
• $f(x)\to \pm \mathrm{\infty },l>0\to \underset{x\to x_0}{\lim }(g(x)\cdot f(x))=\pm \mathrm{\infty }$
• $f(x)\to \pm \mathrm{\infty },l<0\to \underset{x\to x_0}{\lim }(g(x)\cdot f(x))=\mp \mathrm{\infty }$

Questo fatto giustifica l'utilizzo di scritture come:

• $l\cdot \pm \mathrm{\infty }=\pm \mathrm{\infty }$ (se $l>0$ )
• $\pm \mathrm{\infty }+l=\pm \mathrm{\infty }$
• $+\mathrm{\infty }+\mathrm{\infty }=+\mathrm{\infty }$
• $+\mathrm{\infty }\cdot \pm \mathrm{\infty }=\pm \mathrm{\infty }$ (seguendo la regola dei segni convenzionale)
• $\frac{l}{\pm \mathrm{\infty }}=0^{\pm }$ (se $l>0$ )

Forme indeterminate

Template:Vedi anche Una forma indeterminata è invece un caso in cui non è possibile ricavare il limite della funzione composta dai limiti di ciascuna singola funzione. Questo accade in presenza di espressioni del tipo:

$+\mathrm{\infty }-\mathrm{\infty }0\cdot \pm \mathrm{\infty }\frac{\pm \mathrm{\infty }}{\pm \mathrm{\infty }}\frac{0}{0}$

Bibliografia

• Template:En Miller, N. Limits Waltham, MA: Blaisdell, 1964
• Template:En R. Courant, Differential and integral calculus , 1–2 , Blackie (1948)

Voci correlate

• Limite di una funzione