Serie telescopica

Template:F L'espressione "serie telescopica" è un termine informale con cui si indica una serie

$\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}{a}_k$

i cui termini appaiono nella forma

$a_k=A_{k+1}-A_k$

in questo caso le somme parziali si possono esprimere come differenza del primo e ultimo termine della successione $\{A_k\}$:

$s_n=\sum _{k=1}^n(A_{k+1}-A_k)=(\cancel{A_2}-A_1)+(\cancel{A_3}-\cancel{A_2})+(\cancel{A_4}-\cancel{A_3})+\cdots +(\cancel{A_n}-\cancel{A_{n-1}})+(A_{n+1}-\cancel{A_n})=A_{n+1}-A_1,$

e il calcolo della serie si riduce al calcolo del limite della successione $\{A_k\}$, dato che, a questo punto, risulta l'unica operazione non banale:

$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{s}_n=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{A}_{n+1}-A_1=\dots$

Esempi

• Un tipico esempio è la serie di Mengoli:

$\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{k(k+1)}.$

Si può dimostrare che la somma di questa serie è $1$ infatti

$\frac{1}{k(k+1)}=(-\frac{1}{k+1})-(-\frac{1}{k}),$

cioè si tratta di una serie telescopica con $A_k=-\frac{1}{k}$ e quindi

$\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{k(k+1)}=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }(-\frac{1}{n+1})-(-1)=1.$

• Altro esempio è la serie geometrica:

$\sum _{k=0}^n{q}^k=\sum _{k=0}^n(\frac{1-q^{k+1}}{1-q}-\frac{1-q^k}{1-q})=\frac{1-q^{n+1}}{1-q},\text{per }q\ne 1,$

$\sum _{k=0}^n{q}^k=n+1,\text{per }q=1,$

da cui si dimostra subito che se $\left|q\right|<1$ la serie converge a $\frac{1}{1-q}$.

Collegamenti esterni

• Template:Collegamenti esterni