Serie di Mengoli

Template:F La serie di Mengoli, così chiamata in onore di Pietro Mengoli, è la serie definita come

$\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{n(n+1)}=\frac{1}{2}+\frac{1}{6}+\frac{1}{12}+\frac{1}{20}...$.

Questa serie risulta convergente a 1. Infatti si ha che la serie:

$\frac{1}{n(n+1)}=\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}$

Abbiamo pertanto che

$\begin{array}{cc}\sum _{n=1}^k(\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1})=& (1-\frac{1}{2})+(\frac{1}{2}-\frac{1}{3})+\cdots +(\frac{1}{k}-\frac{1}{k+1})=\\ & =1+(-\frac{1}{2}+\frac{1}{2})+(-\frac{1}{3}+\frac{1}{3})+\cdots +(-\frac{1}{k}+\frac{1}{k})-\frac{1}{k+1}=\\ & =1-\frac{1}{k+1}⟶1\text{, per }k\to \mathrm{\infty }.\end{array}$

Risulta però interessante notare come ogni elemento delle successioni parziali si elimini con il termine successivo:

$\begin{array}{c}\sum _{n=1}^k(\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1})=\left(\frac{1}{1}\cancel{-\frac{1}{2}}\right)+\left(\cancel{+\frac{1}{2}}\cancel{-\frac{1}{3}}\right)+\left(\cancel{+\frac{1}{3}}\cancel{-\frac{1}{4}}\right)+\cdots +\left(\cancel{+\frac{1}{k-1}}\cancel{-\frac{1}{k}}\right)+\cdots +(\cancel{\frac{1}{k}}-\frac{1}{k+1})=1-\frac{1}{k+1}\end{array}$

di cui il limite risulta essere:

$\begin{array}{c}\underset{k\to \mathrm{\infty }}{\lim }(1-\frac{1}{k+1})=1\end{array}$

Inoltre non è possibile spezzare la sommatoria nella differenza di due serie:

$\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{n}-\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{n+1}$

poiché queste sono serie armoniche, ciascuna divergente.

La serie di Mengoli costituisce un esempio classico di serie telescopica.

Voci correlate

• Serie (matematica)
• Serie armonica
• Serie telescopica
• Serie geometrica