Densità degli stati

In meccanica quantistica, un sistema non può assumere energie arbitrarie, ma è invece vincolato ad occupare dei livelli energetici discreti. A ciascun livello possono corrispondere uno o più stati quantistici. In questo contesto, la densità degli stati è una distribuzione usata in fisica statistica e dello stato solido per indicare quanti stati siano potenzialmente disponibili ad un dato sistema quantistico ad una data energia.

Definizione ed applicazioni

La densità degli stati $g(ϵ)$ è definita come il numero degli stati disponibile a un sistema quantistico in un intervallo di energia di ampiezza $\delta ϵ$ centrato in $ϵ$ diviso per l'ampiezza stessa di tale intervallo,

$g(ϵ)=\frac{\mathrm{\#}statiin[ϵ-\delta ϵ/2,ϵ+\delta ϵ/2]}{\delta ϵ}.$

Tramite la relazione di dispersione $ϵ(𝐤)$, che lega l'energia di uno stato al suo impulso $𝐤$, si può scrivere la densità di stati come

$g(ϵ)=\frac{g_s}{V}\sum _{𝐤}\delta (ϵ-ϵ(𝐤)),$

con $\delta (ϵ)$ la distribuzione delta di Dirac, e $g_s$ il fattore di degenerazione legato allo spin. Per esempio, se lo spin è $1/2$, $g_s$ sarà $2$. In generale infatti: $g_s=2s+1$ dove $s$ è appunto il numero di spin.

Nel limite termodinamico in cui in un intervallo di energia di ampiezza $\delta ϵ$ sia contenuto un numero elevato di stati, la somma nell'espressione precedente può essere estesa a un integrale dove la misura dello spazio degli impulsi è $d^{d}k/(2\pi \hslash {)}^d$, ottenendo così l'espressione

$g(ϵ)=\int \frac{d^{d}k{d}^{d}x}{(2\pi \hslash {)}^d}\delta (ϵ-ϵ(𝐤)).$

Le densità di stati così ottenute possono successivamente essere usate come pesi per calcolare osservabili termodinamiche in maniera agevole tramite la trasformazione

$\int \frac{d^{d}k{d}^{d}x}{(2\pi \hslash {)}^d}\to \int dϵg(ϵ),$

che rimpiazza un integrale in $2d$ variabili con un integrale in una sola variabile. Questo cambio di variabili è vantaggioso qualora la funzione di distribuzione del sistema e le osservabili di interesse siano esprimibili in maniera semplice in termini dell'energia.

Esempio: gas di fermioni liberi

La relazione di dispersione del sistema è semplicemente $ϵ(𝐤)={𝐤}^2/2m$, con $m$ la massa delle particelle. Il calcolo della $g(ϵ)$ in tre dimensioni porta a

$g(ϵ)=\frac{\sqrt{2}V{m}^{3/2}}{{\hslash }^3{\pi }^2}{ϵ}^{1/2}.$

Ricordando che i fermioni seguono la statistica di Fermi-Dirac

$f_{FD}(ϵ,T)=\frac{1}{e^{(ϵ-\mu )/k_{B}T}+1},$

dove $\mu$ è il potenziale chimico, $T$ la temperatura e $k_B$ la costante di Boltzmann e che, a $T=0$, $f_{FD}(ϵ)$ è una funzione gradino che vale $1$ per $ϵ<\mu$ e $0$ altrimenti, si può calcolare, ad esempio, il numero di particelle nel sistema in funzione dell'energia di Fermi ${ϵ}_F=\mu$ è dato da

$N=\underset{0}{\overset{{ϵ}_F}{\int }}dϵg(ϵ),$

mentre a temperatura finita diviene

$N_T=\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}dϵg(ϵ)f_{FD}(ϵ,T).$