Relazione di dispersione

Template:S Template:F In fisica, la relazione (o legge) di dispersione è una relazione tra l'energia di un sistema e la sua corrispondente quantità di moto. Per esempio, per particelle di massa nello spazio vuoto, la relazione di dispersione può facilmente essere calcolata dalla definizione dell'energia cinetica:

$E=\frac{1}{2}m{v}^2=\frac{p^2}{2m}$

In questo caso la relazione di dispersione è una funzione quadratica.

In caso di fenomeni ondulatori la relazione di dispersione è espressa in termini della frequenza angolare $\omega$ in funzione del vettore d'onda $k$. Ad esempio, la relazione di dispersione della luce nel vuoto è lineare:

$\omega =ck$

dove c è la velocità della luce.

Nella teoria della relatività ristretta, oltre all'energia cinetica, si considera anche l'energia a riposo $m{c}^2$, dove $m$ è la massa a riposo:

$E=\sqrt{(m{c}^2{)}^2+(mv\gamma (v){)}^2}$,

dove $\gamma (v)$ è il fattore di Lorentz e il secondo termine non è altro che la quantità di moto relativistica. Questa relazione è particolarmente utile in regime relativistico, ovvero quando $\frac{v}{c}\approx 1$.

In meccanica quantistica le particelle possono essere descritte come onde. Secondo le relazioni proposte da Louis de Broglie l'energia e la quantità di moto sono legate alla frequenza e al vettore d'onda dalla costante $\hslash =h/2\pi$, dove h è la costante di Planck:

$E=\hslash \omega ,p=\hslash k$.

In termini ondulatori, la relazione di dispersione di una particella libera diventa

$\omega =\frac{\hslash k^2}{2m}$.

Legge di dispersione per PDE

Per una PDE lineare evolutiva si chiama legge di dispersione il legame che si trova tra $\omega$ e $k$ quando come soluzione della PDE inserisco l'ansatz $u(x,t)=e^{i(kx+\omega t)}$

• Per l'equazione delle onde $\frac{{\partial }^2}{\partial t^2}u(x,t)-c^2\frac{{\partial }^2}{\partial x^2}u(x,t)=0$, ottengo che la legge di dispersione è $\omega =\pm ck$. Poiché è una relazione lineare e a coefficienti reali, l'equazione delle onde è detta essere non dispersiva.
• Per l'equazione del calore $\frac{\partial }{\partial t}u(x,t)-D\frac{{\partial }^2}{\partial x^2}u(x,t)=0$ (ove $D$ è il coefficiente di diffusione) ho che la legge di dispersione è $\omega =iD{k}^2$. Poiché è una relazione non lineare e a coefficienti complessi, l'equazione del calore è detta essere dissipativa.
• Per l'equazione di Schrödinger $i\frac{\partial }{\partial t}u(x,t)-ϵ\frac{{\partial }^2}{\partial x^2}u(x,t)=0$ ho che la legge di dispersione è $\omega =ϵk^2$.Poiché è una relazione non lineare e a coefficienti reali, l'equazione di Schrödinger è detta essere dispersiva.

Collegamenti esterni

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