Costante di Gauss

In matematica, la costante di Gauss, indicata con la lettera $G$ , è definita come il reciproco della media aritmetico-geometrica tra 1 e $\sqrt{2}$ :

G = \frac{1}{a g m (1, \sqrt{2})} = 0, 8346268 \dots

La costante prende il nome dal matematico tedesco Carl Friedrich Gauss, il quale il 30 maggio 1799 scoprì che:

G = \frac{2}{π} \int_{0}^{1} \frac{d x}{\sqrt{1 - x^{4}}}

e quindi:

G = \frac{1}{2 π} β (\frac{1}{4}, \frac{1}{2})

La costante di Gauss non deve essere confusa con la costante gravitazionale di Gauss.

Relazioni con altre costanti

La costante di Gauss può essere usata per esprimere la funzione gamma per 1/4:

Γ (\frac{1}{4}) = \sqrt{2 G \sqrt{2 π^{3}}}

e, dato che $π$ e $Γ (\frac{1}{4})$ sono algebricamente indipendenti, con $Γ (\frac{1}{4})$ irrazionale, la costante di Gauss è necessariamente un numero trascendente.

La costante di Gauss può essere ustata per definire le costanti delle lemniscate, la prima delle quali è:

L_{1} = π G

e la seconda:

L_{2} = \frac{1}{2 G}

che compaiono nella ricerca della lunghezza d'arco di una lemniscata.

La seguente è una formula che esprime $G$ in relazione alla funzione theta di Jacobi:

G = θ_{01}^{2} (e^{- π})

così come la seguente serie, rapidamente convergente:

G = \sqrt[4]{32} e^{- \frac{π}{3}} {(\sum_{n = - \infty}^{\infty} (- 1)^{n} e^{- 2 n π (3 n + 1)})}^{2} .

La costante può anche essere espressa come prodotto infinito:

G = \prod_{m = 1}^{\infty} \tanh^{2} (\frac{π m}{2}) .

La costante di Gauss ha come frazione continua [0, 1, 5, 21, 3, 4, 14, ...].