Costante di Chinčin

Template:Costante In teoria dei numeri, la costante di Khinchin è una costante matematica che ha la proprietà di essere il limite, per quasi tutti i numeri reali, della media geometrica dei primi n quozienti parziali della loro frazione continua. L'esistenza di questa costante, indipendente dal numero di partenza, è stata dimostrata da Aleksandr Yakovlevich Khinchin. È denotata con K₀.

Il suo valore è

$K_0\approx 2.6854520010\dots$

Non è noto se la costante di Khinchin sia irrazionale.

Tra i numeri che non hanno questa proprietà vi sono i numeri razionali, gli irrazionali quadratici ed e; si suppone invece che π, la costante di Eulero-Mascheroni γ e la stessa costante di Khinchin la verifichino, ma questo non è stato dimostrato né per loro né per alcun altro numero, sebbene siano state costruite successioni la cui media geometrica tende a K₀.

Formule

Vi sono varie formule che esprimono la costante di Khinchin. Come produttoria, si ha

$K_0=\prod _{r=1}^{\mathrm{\infty }}{\{1+\frac{1}{r(r+2)}\}}^{{\log }_{2}r}$

mentre usando la funzione zeta di Riemann si ha

$\ln K_0=\frac{1}{\log 2}\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{\zeta (2n)-1}{n}\sum _{k=1}^{2n-1}\frac{(-1{)}^{k+1}}{k}$

Due rappresentazioni integrali sono

$\ln K_0=\ln 2+\frac{1}{\ln 2}\underset{0}{\overset{1}{\int }}\frac{1}{x(1+x)}\ln [\mathrm{\Gamma }(2-x)\mathrm{\Gamma }(2+x)]\mathrm{d}x$

dove Γ indica la funzione Gamma, e

$\ln (K_0)\ln 2=\underset{1}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{\ln (\lfloor t\rfloor )}{t(1+t)}\mathrm{d}t=\underset{0}{\overset{1}{\int }}\frac{\ln (\lfloor 1/t\rfloor )}{1+t}\mathrm{d}t$

Ulteriori costanti

Generalizzando la media geometrica, è stato dimostrato che per quasi tutti gli x la media

$K_p=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{\left[\frac{1}{n}\sum _{k=1}^n{a}_k^p\right]}^{1/p}$

è indipendente da x, e pari a

$K_p={[\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}-k^p{\log }_2(1-\frac{1}{(k+1{)}^2})]}^{1/p}$

Per $p\to 0$, il limite di K_p è la costante di Khinchin.

Bibliografia

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Collegamenti esterni

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