Costante Omega

Template:Costante La costante Omega è una costante matematica definita da

$\mathrm{\Omega }\cdot e^{\mathrm{\Omega }}=1$

e la cui espansione decimale inizia con

$\mathrm{\Omega }=0,5671432904097838729999686622...$

È il valore di W(1), dove W è la funzione W di Lambert o funzione omega (da cui il nome della costante).

Ω può essere anche definito come la soluzione di

$e^{-\mathrm{\Omega }}=\mathrm{\Omega }$

o anche di

$\ln (1/\mathrm{\Omega })=\mathrm{\Omega }.$

La costante $\mathrm{\Omega }$ può essere calcolata attraverso un metodo iterativo: partendo da una stima iniziale ${\mathrm{\Omega }}_0$ e considerando la successione

${\mathrm{\Omega }}_{n+1}=e^{-{\mathrm{\Omega }}_n}.$

che avrà limite $\mathrm{\Omega }$ quando $n\to \mathrm{\infty }$. La convergenza di questa iterazione avviene poiché $\mathrm{\Omega }$ è un punto fisso attrattivo della funzione $e^{-x}$.

A ogni modo è molto più efficiente utilizzare l'iterazione

${\mathrm{\Omega }}_{n+1}=\frac{1+{\mathrm{\Omega }}_n}{1+e^{{\mathrm{\Omega }}_n}},$

poiché la funzione

$f(x)=\frac{1+x}{1+e^x},$

ha il medesimo punto fisso ma ha derivata nulla nel suddetto punto e quindi la convergenza è quadratica (il numero di cifre corrette raddoppia approssimativamente a ogni iterazione).

Un'identità tramite integrale improprio dovuta a Victor Adamchik è la seguente:

$\mathrm{\Omega }=\frac{1}{\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{+\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{dt}{(e^t-t{)}^2+{\pi }^2}}-1.$

Irrazionalità e trascendenza

La costante $\mathrm{\Omega }$ è un numero trascendente.

Per dimostrare la sua irrazionalità è possibile servirsi del fatto che e è trascendente: se $\mathrm{\Omega }=\frac{p}{q}$ (con p e q interi), allora

$1=\frac{p}{q}{e}^{p/q}$

cioè

$e=\sqrt[p]{\frac{q^q}{p^q}}$

e quindi e sarebbe algebrico, il che è assurdo.

La trascendenza di $\mathrm{\Omega }$ è una conseguenza del teorema di Lindemann-Weierstrass: se fosse algebrico, il numero $e^{\mathrm{\Omega }}$ sarebbe trascendente, così come $\mathrm{\Omega }\cdot e^{\mathrm{\Omega }}$, il che è assurdo perché questa quantità è uguale a 1 per definizione. Quindi $\mathrm{\Omega }$ è trascendente.

Voci correlate

• Funzione W di Lambert

Collegamenti esterni

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