Cerchio di Carlyle

In matematica, il cerchio di Carlyle è un sistema semplice e ingegnoso per risolvere per via geometrica (con l'uso di soli riga e compasso) un'equazione di secondo grado. Prende il nome da Thomas Carlyle il quale, prima di dedicarsi alla storia e alla filosofia, in gioventù aveva mostrato notevoli doti come matematico.

Enunciato

Data l'equazione

$x^2-sx+p=0$

in cui $s$ e $p$ sono segmenti di lunghezza data (con segno), è sufficiente disegnare su un piano cartesiano i punti $A(0,1)$ e $B(s,p)$. Costruito un cerchio il cui diametro è identificato dai punti $A$ e $B$, se tale cerchio interseca l'asse delle $x$, i punti $x_1$ e $x_2$ di intersezione sono le soluzioni reali dell'equazione data.

Dimostrazione

Fig. 1: Cerchio di Carlyle per p < 0

Fig. 2: Cerchio di Carlyle per p > 0

Primo modo

A destra è riportata le descrizione dei due casi principali, per $p$ maggiore o minore di zero. In entrambi i casi è semplice verificare che

$s=x_1+x_2$

Se $p<0$ (figura 1), per il teorema delle corde abbiamo la seguente equivalenza:

$\overline{O{x}_1}\cdot \overline{O{x}_2}=\overline{OA}\cdot \overline{OP}$

ovvero

$(x_1)\cdot (-x_2)=(1)\cdot (-p)$

Per $p>0$ (figura 2) si può analogamente arrivare al risultato

$(x_1)\cdot (x_2)=(1)\cdot (p)$

Ricapitolando, in entrambi i casi abbiamo:

$s=x_1+x_2$

$p=x_1\cdot x_2$

Di conseguenza, sviluppando l'espressione di partenza otteniamo che

$x^2-sx+p=x^2-(x_1+x_2)x+x_1\cdot x_2=(x-x_1)(x-x_2)$

da cui risulta evidente che $x_1$ e $x_2$ sono le soluzioni dell'equazione di secondo grado originale; notare che in questa costruzione, $s$ rappresenta la somma delle soluzioni e $p$ il prodotto: il cerchio di Carlyle consente quindi di trovare in modo semplice le soluzioni di un'equazione di secondo grado in cui sono noti la somma e il prodotto delle radici.

Secondo modo

Un'altra dimostrazione è ricavabile mediante le regole della geometria analitica.

Sia C centro del cerchio di diametro $A(0,1)$ e $B(s,q)$. Esso è il punto medio del segmento $AB$:

$C(\frac{0+s}{2},\frac{1+q}{2})=C(\frac{s}{2},\frac{1+q}{2})$

Il raggio del cerchio è il segmento $AC$:

$r=\sqrt{{(0-\frac{s}{2})}^2+{(1-\frac{1+q}{2})}^2}=\sqrt{\frac{s^2}{4}+\frac{q^2-2q+1}{4}}$

Data l'equazione analitica del cerchio:

$(x-x_C{)}^2+(y-y_C{)}^2=r^2$

${(x-\frac{s}{2})}^2+{(y-\frac{1+q}{2})}^2=\frac{s^2}{4}+\frac{q^2-2q+1}{4}$

Le intersezioni con l'asse $x$, chiamate $x_1$ e $x_2$, sono le soluzioni del sistema:

$\{\begin{array}{c}{(x-\frac{s}{2})}^2+{(y-\frac{1+q}{2})}^2=\frac{s^2}{4}+\frac{q^2-2q+1}{4}\\ y=0\end{array}$

$x_1$ e $x_2$ sono pertanto le soluzioni dell'equazione

${(x-\frac{s}{2})}^2+{(0-\frac{1+q}{2})}^2=\frac{s^2}{4}+\frac{q^2-2q+1}{4}$

$x^2-sx+\frac{s^2}{4}+\frac{(q+1{)}^2}{4}=\frac{s^2}{4}+\frac{q^2-2q+1}{4}$

Da cui:

$x^2-sx+\frac{q}{2}+\frac{q}{2}=0$

$x^2-sx+q=0$

$x_1$ e $x_2$ sono pertanto le soluzioni di questa equazione, come volevasi dimostrare.

Variante

Il centro del cerchio di Carlyle si trova, per costruzione, nel punto medio $M$ del segmento $AB$. Usando solo riga e compasso, non è immediato determinare il punto $B(s,p)$: una soluzione che rende più efficiente la costruzione è di tracciare un segmento $SY$, il cui punto medio coincide con $M$. Per tracciare tale segmento basta riportare $s$ sull'asse delle $x$, mentre sull'asse delle $y$ va riportato il punto $p+1$.

Usi del cerchio di Carlyle

Il cerchio di Carlyle è della massima utilità nella costruzione esatta dei poligoni regolari con l'uso di soli riga e compasso. Con un cerchio di Carlyle infatti si costruisce agevolmente un pentagono regolare mentre, con elaborazioni via via più complesse, si possono costruire anche l'ettadecagono, il 257-gono e il 65537-gono.

Voci correlate

• Costruzioni con riga e compasso
• Poligoni regolari
• Eptadecagono
• 257-gono
• 65537-gono

Collegamenti esterni

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