Caustica (matematica)

Caustica riflessiva generata da un cerchio e da raggi paralleli

In geometria differenziale e ottica geometrica, una caustica è l'inviluppo di raggi riflessi o rifratti da una varietà. È legata al concetto di caustica in ottica. La sorgente del raggio può essere un punto (chiamato radiante) o raggi paralleli da un punto all'infinito, nel qual caso deve essere specificato un vettore di direzione dei raggi.

Più in generale, specialmente quando applicata alla geometria simplettica e alla teoria delle singolarità, una caustica è l'insieme dei valori critici della mappatura lagrangiana Template:Tutto attaccato dove Template:Tutto attaccato è una immersione lagrangiana di una sottovarietà lagrangiana L in una varietà simplettica M, e Template:Tutto attaccato è a fibrazione lagrangiana della varietà simplettica M. La caustica è un sottoinsieme dello spazio di base B della fibrazione lagrangiana.

Catacaustica

Una catacaustica è il caso riflessivo.

Con un radiante, è l'evoluta dell'ortotomica del radiante.

Il caso dei raggi planari, paralleli alla sorgente: si supponga che il vettore di direzione sia $(a,b)$ e che la curva speculare sia parametrizzata come $(u(t),v(t))$. Il vettore normale in un punto è $(-v^{\prime }(t),u^{\prime }(t))$; il riflesso del vettore di direzione è (la normale richiede una normalizzazione speciale)

$2{\text{proj}}_{n}d-d=\frac{2n}{\sqrt{n\cdot n}}\frac{n\cdot d}{\sqrt{n\cdot n}}-d=2n\frac{n\cdot d}{n\cdot n}-d=\frac{(av{\text{'}}^2-2b{u}^{\prime }{v}^{\prime }-au{\text{'}}^2,bu{\text{'}}^2-2a{u}^{\prime }{v}^{\prime }-bv{\text{'}}^2)}{v{\text{'}}^2+u{\text{'}}^2}$

Facendo trattare alle componenti del vettore riflesso trovato con me una tangente

$(x-u)(bu{\text{'}}^2-2a{u}^{\prime }{v}^{\prime }-bv{\text{'}}^2)=(y-v)(av{\text{'}}^2-2b{u}^{\prime }{v}^{\prime }-au{\text{'}}^2).$

Usando la forma più semplice di inviluppo

$F(x,y,t)=(x-u)(bu{\text{'}}^2-2a{u}^{\prime }{v}^{\prime }-bv{\text{'}}^2)-(y-v)(av{\text{'}}^2-2b{u}^{\prime }{v}^{\prime }-au{\text{'}}^2)$ $=x(bu{\text{'}}^2-2a{u}^{\prime }{v}^{\prime }-bv{\text{'}}^2)-y(av{\text{'}}^2-2b{u}^{\prime }{v}^{\prime }-au{\text{'}}^2)+b(uv{\text{'}}^2-uu{\text{'}}^2-2v{u}^{\prime }{v}^{\prime })+a(-vu{\text{'}}^2+vv{\text{'}}^2+2u{u}^{\prime }{v}^{\prime })$

$F_t(x,y,t)=2x(b{u}^{\prime }{u}^{″}-a(u^{\prime }{v}^{″}+u^{″}{v}^{\prime })-b{v}^{\prime }{v}^{″})-2y(a{v}^{\prime }{v}^{″}-b(u^{″}{v}^{\prime }+u^{\prime }{v}^{″})-a{u}^{\prime }{u}^{″})+b(u^{\prime }v{\text{'}}^2+2u{v}^{\prime }{v}^{″}-u{\text{'}}^3-2u{u}^{\prime }{u}^{″}-2u^{\prime }v{\text{'}}^2-2u^{″}v{v}^{\prime }-2u^{\prime }v{v}^{″})+a(-v^{\prime }u{\text{'}}^2-2v{u}^{\prime }{u}^{″}+v{\text{'}}^3+2v{v}^{\prime }{v}^{″}+2v^{\prime }u{\text{'}}^2+2v^{″}u{u}^{\prime }+2v^{\prime }u{u}^{″})$

che può essere antiestetico, ma $F=F_t=0$ dà un sistema lineare in $(x,y)$ e così è elementare ottenere una parametrizzazione della catacaustica. Servirebbe la regola di Cramer.

Esempio

Il vettore di direzione sia (0,1) e lo specchio sia $(t,t^2).$ Allora

$u^{\prime }=1$   $u^{″}=0$   $v^{\prime }=2t$   $v^{″}=2$   $a=0$   $b=1$

$F(x,y,t)=(x-t)(1-4t^2)+4t(y-t^2)=x(1-4t^2)+4ty-t$

$F_t(x,y,t)=-8tx+4y-1$

e $F=F_t=0$ ha soluzione $(0,1/4)$; cioè, la luce che entra in uno specchio parabolico parallelo al suo asse è riflesso attraverso il fuoco.

Voci correlate

• Varietà riemanniana
• Ultimo enunciato geometrico di Jacobi

Collegamenti esterni

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