Podaria

In geometria, la podaria di un curva rispetto ad un punto $P$ detto polo è il luogo geometrico formato dalle proiezioni di $P$ sulle rette tangenti alla curva; tali proiezioni sono anche i piedi delle normali alle rette tangenti alla curva passanti per il polo stesso (da cui il termine podaria). La curva originaria è detta anche antipodaria.

Equazione della podaria

Siano date le equazioni parametriche della curva $\mathrm{\Gamma }$:

$\{\begin{array}{ccc}x& =& f(t)\\ y& =& g(t),\end{array}$

dove $f$ e $g$ sono due funzioni derivabili su un intervallo $I\in ℝ$. La tangente di $\mathrm{\Gamma }$ nel suo punto $(f(t),g(t))$ ha equazione

$y-g(t)=\frac{g^{\prime }(t)}{f^{\prime }(t)}(x-f(t)).$

La proiezione di $P(x_0,y_0)$ sulla tangente si trova sulla retta perpendicolare a questa e passante per $P$:

$y-y_0=-\frac{f^{\prime }(t)}{g^{\prime }(t)}(x-x_0).$

Intersecando queste due rette si ottiene il generico punto della podaria, che ha le seguenti equazioni parametriche:

$\{\begin{array}{ccc}x& =& \frac{x_0{f}^{\prime 2}(t)+(y_0-g(t))f^{\prime }(t)g^{\prime }(t)+f(t)g^{\prime 2}(t)}{f^{\prime 2}(t)+g^{\prime 2}(t)}\\ y& =& \frac{g(t)f^{\prime 2}(t)+(x_0-f(t))g^{\prime }(t)f^{\prime }(t)+y_0{g}^{\prime 2}(t)}{f^{\prime 2}(t)+g^{\prime 2}(t)},\end{array}$

Casi particolari

Utilizzando l'equazione sopra descritta si possono calcolare alcuni casi significativi di podaria.

Podaria della circonferenza

Esempi di podaria della circonferenza con poli in differenti posizioni

La podaria di una circonferenza è la lumaca di Pascal.

Per dimostrarlo, si considera una circonferenza passante per l'origine di raggio 1 e centro nel punto $(1,0)$, di equazioni parametriche:

$\{\begin{array}{ccc}x& =& 1+\cos t\\ y& =& \sin t.\end{array}$

Possiamo limitarci a considerare i poli $P(a,0)$, posti sull'asse delle ascisse, con $a\le 1$. Le equazioni della podaria sono allora:

$\{\begin{array}{ccc}x& =& \cos t(1+\cos t)+a{\sin }^{2}t=a+\cos t+(1-a){\cos }^{2}t\\ y& =& \sin t(1+\cos t)-a\sin t\cos t=\sin t+(1-a)\sin t\cos t.\end{array}$

I casi possibili sono:

• $P$ è il centro della circonferenza: la podaria è la circonferenza stessa;
• $P$ è interno alla circonferenza: la podaria è senza nodi; se P dista dal centro meno di metà raggio, la podaria racchiude una regione convessa, altrimenti una regione concava;
• $P$ è sulla circonferenza: la podaria è una cardioide;
• $P$ è esterno alla circonferenza: la podaria è una curva intrecciata.

Podaria della parabola

Esempi di podaria della parabola con poli in differenti posizioni

Consideriamo la parabola di equazione $y=x^2$; le sue equazioni parametriche sono $x=t$ e $y=t^2$; dalla formula generale si ricavano le equazioni della podaria per un polo $P(0,a)$ che giace sull'asse della parabola:

$\{\begin{array}{ccc}x& =& \frac{2t(a+t^2)}{1+4t^2}\\ y& =& \frac{t^2(4a-1)}{1+4t^2}.\end{array}$

Alcune podarie notevoli sono:

• $a=1/4$: il polo coincide con il fuoco della parabola; la podaria è l'asse delle ascisse;
• $a=0$: il polo coincide con il vertice della parabola; la podaria è una cissoide di Diocle;
• $a=-3/4$: il polo è il simmetrico del fuoco rispetti alla direttrice; la podaria è la trisettrice di Mac Laurin.

Voci correlate

• Evoluta di una curva

Collegamenti esterni

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