Ampiezza di scattering

In fisica quantistica, l'ampiezza di scattering (o ampiezza di diffusione) è l'ampiezza di probabilità dell'onda sferica prodotta dall'interazione di un'onda piana con una particella puntiforme.

Il processo di scattering è descritto dalla funzione d'onda

$\psi (𝐫)=e^{i𝐤\mathbf{\cdot }𝐫}+f(\theta )\frac{e^{ikr}}{r},$

dove $𝐫\equiv (x,y,z)$ è il vettore posizione con $r\equiv \Vert 𝐫\Vert$; $e^{i𝐤\mathbf{\cdot }𝐫}$ è l'onda piana incidente con vettore d'onda $𝐤$ ($k\equiv \Vert 𝐤\Vert$); $e^{ikr}/r$ è l'onda sferica diffusa; θ è l'angolo di scattering; $f(\theta )$ è l'ampiezza di scattering. La dimensione dell'ampiezza di scattering è la lunghezza.

L'ampiezza di scattering è un'ampiezza di probabilità; la sezione d'urto differenziale in funzione dell'angolo di scattering è data dal suo modulo al quadrato,

$\frac{d\sigma }{d\mathrm{\Omega }}=|f(\theta ){|}^2.$

Sviluppo in onde parziali

Template:Vedi anche Nello sviluppo in onde parziali l'ampiezza di scattering è rappresentata da una sommatoria sulle onde parziali,

$f=\sum _{\ell =0}^{\mathrm{\infty }}(2\ell +1)f_{\ell }{P}_{\ell }(\cos \theta )$,

dove $f_{\ell }$ è l'ampiezza di scattering parziale e $P_{\ell }$ sono i polinomi di Legendre.

L'ampiezza parziale può essere espressa tramite l'elemento di onda parziale della matrice S $S_{\ell }$ ($=e^{2i{\delta }_{\ell }}$) e lo sfasamento di scattering ${\delta }_{\ell }$ come

$f_{\ell }=\frac{S_{\ell }-1}{2ik}=\frac{e^{2i{\delta }_{\ell }}-1}{2ik}=\frac{e^{i{\delta }_{\ell }}\sin {\delta }_{\ell }}{k}=\frac{1}{k\cot {\delta }_{\ell }-ik}.$

Allora la sezione d'urto differenziale è data da

$\frac{d\sigma }{d\mathrm{\Omega }}=|f(\theta ){|}^2=\frac{1}{k^2}{|\sum _{\ell =0}^{\mathrm{\infty }}(2\ell +1)e^{i{\delta }_{\ell }}\sin {\delta }_{\ell }{P}_{\ell }(\cos \theta )|}^2$,

e la sezione d'urto totale diventa

$\sigma =2\pi \underset{0}{\overset{\pi }{\int }}\frac{d\sigma }{d\mathrm{\Omega }}\sin \theta d\theta =\frac{4\pi }{k}\mathrm{Im}f(0)$,

dove $\mathrm{Im}f(0)$ è la parte immaginaria di $f(0)$. Questa uguaglianza prende il nome di teorema ottico.

Raggi X

La lunghezza di scattering per i raggi X è la lunghezza di scattering di Thomson (o il raggio classico dell'elettrone).

Neutroni

Il processo di scattering di neutroni nucleari dipende dalla lunghezza di scattering neutronica spesso rappresentata da $b$.

Formalismo quantistico

Un approccio quantistico è dato dal formalismo della matrice S.

Voci correlate

• Scattering
• Ampiezza di Veneziano