Ammortamento a rate anticipate

Template:Torna a Template:F L'ammortamento a rate anticipate prevede che il pagamento di ciascuna rata (supposto che le rate siano equintervallate ed n sia il numero di periodi previsti per l'ammortamento) venga pagato all'inizio del periodo corrispondente alla rata (mensile, trimestrale, annuale).

Sia k= 0, 1, 2, ..., n-1 uno degli n periodi, si ha che la quota della rata $R_{k}$ al periodo k è pari alla somma di una quota d'interessi $I_{k}$ e di una quota di capitale $C_{k}$ :

$R_{k} = C_{k} + I_{k}$

mentre

$R_{n} = 0$ .

Per l'attualizzazione delle rate deve essere soddisfatto il vincolo di equivalenza finanziaria:

$S = \sum_{k = 0}^{n - 1} R_{k} (1 + i)^{- k}$

È prassi finanziaria valutare il debito residuo immediatamente prima delle rate in scadenza. Quindi sia k il periodo in considerazione e $D_{k}^{-}$ il debito residuo valutato subito prima dell'inizio di tale periodo si ha:

$D_{k}^{-} = \sum_{j = k}^{n - 1} C_{j}$ per k= 0, 1, 2, ..., n-1

$D_{k}^{-} = 0$ per k= n

ovvero (scrivendo il debito in funzione dell'intero importo S):

$D_{k}^{-} = S$ per k=0

$D_{k}^{-} = S - \sum_{j = 0}^{k - 1} C_{j}$ per k= 1, 2, ..., n-1

$D_{k}^{-} = 0$ per k=n

Si noti che $D_{k}^{-} = D_{k - 1}$ vale a dire che il debito residuo calcolato immediatamente prima del pagamento della rata in scadenza nel periodo k coincide con il debito residuo calcolato immediatamente dopo il pagamento della rata che scade nel periodo k-1.

Ne deriva che subito prima che il prestito venga erogato si ha $D_{0}^{-} = S$ , di conseguenza all'inizio del prestito ( $k = 0$ ) la somma ricevuta dal debitore è già detratta della prima rata, quindi il debitore riceve una somma pari a $S - R_{0}$ .

La quota interessi che viene pagata in ciascun periodo k si riferisce agli interessi relativi al periodo [k,k+1] ed è proporzionale al debito residuo del periodo $D_{k}$ (che coincide con $D_{k + 1}^{-}$ ).

$I_{k} = D_{k} i (1 + i)^{- 1} = d D_{k} = d D_{k + 1}^{-}$ con $d = i / (i + 1)$ e $k = 0, 1, 2, . . ., n - 1$

Considerando le tre seguenti equazioni (già definite sopra):

$D_{k + 1}^{-} = D_{k}^{-} - C_{k}$

$I_{k} = d D_{k + 1}^{-}$

$R_{k} = C_{k} + I_{k}$

si può mettere in relazione debito residuo e rate secondo quanto segue:

$D_{k + 1}^{-} = D_{k}^{-} - C_{k} = D_{k}^{-} - R_{k} + I_{k} = D_{k}^{-} - R_{k} + d D_{k + 1}^{-}$

da cui si ottiene

$D_{k + 1}^{-} (1 - d) = D_{k}^{-} - R_{k}$

considerando 1 - d = 1 - i / (1+i) = 1 / (1+i) = v, si ha la relazione voluta:

$R_{k} = D_{k}^{-} - v D_{k + 1}^{-}$ .

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