Algebra elementare

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LTemplate:'algebra elementare è la branca della matematica che studia il calcolo letterale, cioè studia i monomi e i polinomi ed estende ad essi le operazioni aritmetiche, dette in questo contesto operazioni algebriche.

Ciò è di grande utilità perché:

consente la formulazione generale di leggi aritmetiche (come $a + b = b + a$ per ogni $a$ e $b$ ), e quindi è il primo passo per un'esplorazione sistematica delle proprietà del sistema dei numeri reali;
consente di riferirsi a numeri incogniti e quindi di formulare delle equazioni e di sviluppare tecniche per risolverle (per esempio: "trova un numero $x$ tale che $3 \cdot x + 2 = 10$ );
consente la formulazione di relazioni funzionali (come la seguente: "se si vendono $x$ biglietti, allora il profitto sarà $10 x - 5$ euro").

Un'espressione algebrica può contenere numeri, variabili ed operazioni aritmetiche; esempi sono $a + 3$ e $x^{2} - 3$ .

Un'equazione è una proposizione aperta, contenente un'uguaglianza, che può essere vera o falsa in funzione del valore attribuito alle variabili incognite in essa presenti. Alcune equazioni sono vere per ogni valore delle incognite (per esempio $a + (b + c) = (a + b) + c$ ); esse sono conosciute come identità. Altre equazioni contengono dei simboli per le variabili incognite e siamo quindi interessati a trovare quei particolari valori che rendono vera l'uguaglianza, cioè rendono il primo membro uguale al secondo: $x^{2} - 1 = 4$ . Essi sono detti soluzioni dell'equazione.

Esempi di equazioni

Le equazioni più semplici da risolvere sono quelle lineari (cioè di grado 1), come

2 x + 3 = 10 .

La tecnica fondamentale è quella di sommare, sottrarre, moltiplicare o dividere entrambi i membri di un'equazione per lo stesso numero, e, ripetendo più volte questo processo, arrivare ad esprimere direttamente il valore della $x$ . Nell'esempio precedente, se si sottrae 3 da entrambi i membri, si ottiene

2 x = 7

e dividendo entrambi i membri per 2, si ottiene la soluzione

x = \frac{7}{2} .

Equazioni come

x^{2} + 3 x = 5

sono note come equazioni quadratiche e per esse esiste una semplice formula risolutiva per trovare tutte le soluzioni.

Espressioni o affermazioni possono contenere molte variabili, da cui potrebbe essere possibile o impossibile ricavare il valore di alcune variabili. Per esempio:

(x - 1)^{2} = 0 y .

Dopo alcuni semplici passaggi algebrici, possiamo dedurre che $x = 1,$ ma non possiamo dedurre quale sia il valore di $y .$ Comunque, se noi avessimo avuto un'altra equazione nelle incognite $x$ e $y,$ avremmo potuto ottenere la risposta tramite un sistema di equazioni. Per esempio:

{\begin{matrix} 4 x + 2 y = 14 \\ 2 x - y = 1 \end{matrix}

Ora, moltiplichiamo la seconda per 2, ottenendo le seguenti espressioni:

{\begin{matrix} 4 x + 2 y = 14 \\ 4 x - 2 y = 2 \end{matrix}

Poiché abbiamo moltiplicato l'intera equazione per 2 (ossia entrambi i membri), abbiamo in realtà ottenuto un'affermazione equivalente. Ora possiamo combinare le due equazioni, sommando membro a membro:

8 x = 16 .

In questo modo abbiamo ottenuto un'equazione in una sola incognita, che possiamo facilmente risolvere dividendo per 8 e ottenendo $x = 2 .$

Ora scegliamo una delle due equazioni di partenza.

4 x + 2 y = 14 .

Sostituiamo 2 al posto di $x$ :

4 (2) + 2 y = 14 .

Semplifichiamo

8 + 2 y = 14,

2 y = 6 .

E risolviamo per $y,$ ottenendo 3. La soluzione di questo sistema di equazioni è $x = 2$ e $y = 3,$ ossia la coppia $(2, 3) .$

Leggi di algebra elementare (su un campo)

L'addizione è un'operazione commutativa.
- La sottrazione è l'operazione inversa dell'addizione.
- Sottrarre equivale ad aggiungere l'opposto:

a - b = a + (- b) .

La moltiplicazione è un'operazione commutativa.
- La divisione è l'operazione inversa della moltiplicazione.
- Dividere è lo stesso che moltiplicare per il reciproco:

\frac{a}{b} = a (\frac{1}{b}) .

Se $a b = 0,$ allora $a = 0$ o $b = 0$ (legge di annullamento del prodotto).
L'elevamento a potenza non è un'operazione commutativa.
- L'elevamento a potenza ha due operazioni inverse: il logaritmo e la radice.
  - Esempi: se $3^{x} = 10$ allora $x = \log_{3} 10$ . Se $x^{2} = 10,$ allora $x = 1 0^{1 / 2}$ .
- La radice quadrata di -1 è i.
La proprietà distributiva della moltiplicazione rispetto all'addizione: $c (a + b) = c a + c b$ .
La proprietà distributiva dell'esponenziazione rispetto alla divisione: $(a b)^{c} = a^{c} b^{c}$ .
Come combinare gli esponenti: $a^{b} a^{c} = a^{b + c} .$
Se $a = b$ e $b = c,$ allora $a = c$ (proprietà transitiva dell'uguaglianza).^[1]
$a = a$ (proprietà riflessiva dell'uguaglianza).
Se $a = b,$ allora $b = a$ (proprietà simmetrica dell'uguaglianza).
Se a=b e c=d, allora a+c=b+d.
- Se $a = b,$ allora $a + c = b + c$ per ogni $c,$ per via della riflessività dell'uguaglianza.
Se a=b e c=d, allora ac = bd.
- Se $a = b,$ allora $a c = b c$ per ogni $c$ per via della riflessività dell'uguaglianza.
Se due simboli sono uguali, allora uno può essere sostituito con l'altro.
Se $a > b$ e $b > c,$ allora $a > c$ (transitività della disuguaglianza).
Se $a > b,$ allora $a + c > b + c$ per ogni $c .$
Se $a > b$ e $c > 0,$ allora $a c > b c$ .
Se $a > b$ e $c < 0,$ allora $a c < b c$ .