Determinante di Fredholm

In matematica, il determinante di Fredholm è una funzione a valori complessi che generalizza la nozione di determinante di una matrice. Definito per operatori limitati su uno spazio di Hilbert, deve il nome a Erik Ivar Fredholm.

Definizione

Sia $H$ uno spazio di Hilbert e $G$ l'insieme degli operatori limitati invertibili definiti su $H$ che hanno la forma $I+T$, dove $I$ è l'identità e $T$ un operatore di classe traccia (dunque un operatore compatto). L'insieme $G$ è un gruppo in quanto:

$(I+T{)}^{-1}-I=-T(I+T{)}^{-1}$

e si può definire in modo naturale una metrica data da:

$d(X,Y)=\Vert X-Y{\Vert }_1$

dove $\Vert A{\Vert }_1=\mathrm{T}\mathrm{r}|A|$. Se $H$ ha come prodotto interno $(\cdot ,\cdot )$, allora la potenza esterna k-esima ${\mathrm{\Lambda }}^{k}H$ è a sua volta uno spazio di Hilbert con prodotto interno:

$(v_1\wedge v_2\wedge \cdots \wedge v_k,w_1\wedge w_2\wedge \cdots \wedge w_k)=\mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{t}(v_i,w_j)$

In particolare:

$e_{i_1}\wedge e_{i_2}\wedge \cdots \wedge e_{i_k}(i_1<i_2<\cdots <i_k)$

fornisce una base ortonormale di ${\mathrm{\Lambda }}^{k}H$ se $(e_i)$ è una base ortonormale di $H$.

Se $A$ è un operatore limitato su $H$, allora $A$ definisce funzionalmente un operatore limitato ${\mathrm{\Lambda }}^k(A)$ su ${\mathrm{\Lambda }}^{k}H$:

${\mathrm{\Lambda }}^k(A)v_1\wedge v_2\wedge \cdots \wedge v_k=A{v}_1\wedge A{v}_2\wedge \cdots \wedge A{v}_k$

Se $A$ è di classe traccia, allora lo è anche ${\mathrm{\Lambda }}^k(A)$ con:

$\Vert {\mathrm{\Lambda }}^k(A){\Vert }_1\le \Vert A{\Vert }_1^k/k!$

In questo modo ha senso la definizione di determinante di Fredholm:

$\mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{t}(I+A)=\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}\mathrm{T}\mathrm{r}{\mathrm{\Lambda }}^k(A)$

Proprietà

• Se $A$ è di classe traccia:

$\mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{t}(I+zA)=\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}{z}^k\mathrm{T}\mathrm{r}{\mathrm{\Lambda }}^k(A)$

definisce una funzione intera tale che:

$|\mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{t}(I+zA)|\le \exp (|z|\cdot \Vert A{\Vert }_1)$

• La funzione $\det (I+A)$ è continua sullo spazio degli operatori di classe traccia, con:

$|\mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{t}(I+A)-\mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{t}(I+B)|\le \Vert A-B{\Vert }_1\exp (\Vert A{\Vert }_1+\Vert B{\Vert }_1+1)$

Tale disuguaglianza può essere migliorata scrivendola nella forma:

$|\mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{t}(I+A)-\mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{t}(I+B)|\le \Vert A-B{\Vert }_1\exp (\max (\Vert A{\Vert }_1,\Vert B{\Vert }_1)+1)$

• Se $A$ e $B$ sono di classe traccia:

$\mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{t}(I+A)\cdot \mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{t}(I+B)=\mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{t}(I+A)(I+B)$

• La funzione determinante definisce un omomorfismo tra $G$ e il gruppo moltiplicativo ${ℂ}^{*}$ dei numeri complessi non nulli.

• Se $T\in G$ e $X$ è invertibile:

$\mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{t}XT{X}^{-1}=\mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{t}T$

• Se $A$ è di classe traccia:

$\mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{t}{e}^A=\exp \mathrm{T}\mathrm{r}(A)$

$\log \mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{t}(I+zA)=\mathrm{T}\mathrm{r}(\log (I+zA))=\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}(-1{)}^{k+1}\frac{\mathrm{T}\mathrm{r}{A}^k}{k}{z}^k$

Commutatori

Una funzione $F(t):(a,b)\to G$ è differenziabile se $F(t)-I$ è differenziabile come funzione che mappa nello spazio vettoriale degli operatori di classe traccia, ovvero se esiste il limite:

$\dot{F}(t)=\underset{h\to 0}{\lim }\frac{F(t+h)-F(t)}{h}$

nella norma $\Vert \cdot {\Vert }_1$. Se $g(t)$ è una funzione differenziabile che mappa nello spazio degli operatori di classe traccia, allora lo è anche $\exp (g(t))$ e si ha:

$F^{-1}\dot{F}=\frac{\mathrm{i}\mathrm{d}-\exp -\mathrm{a}\mathrm{d}g(t)}{\mathrm{a}\mathrm{d}g(t)}\cdot \dot{g}(t)$

dove:

$\mathrm{a}\mathrm{d}(X)\cdot Y=XY-YX$

Israel Gohberg e Mark Krein provarono che se $F$ è differenziabile a valori in $G$ allora $f=\det (F)$ è una funzione differenziabile a valori in ${ℂ}^{*}$ con:

$f^{-1}\dot{f}=\mathrm{T}\mathrm{r}{F}^{-1}\dot{F}$

Questo risultato fu utilizzato da Joel Pincus, William Helton e Roger Howe per mostrare che se $A$ e $B$ sono operatori limitati con commutatore $AB-BA$ di classe traccia allora:

$\mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{t}{e}^A{e}^B{e}^{-A}{e}^{-B}=\exp \mathrm{T}\mathrm{r}(AB-BA)$

Bibliografia

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Voci correlate

• Classe traccia
• Forma sesquilineare
• Nucleo di Fredholm
• Operatore compatto
• Operatore di Fredholm
• Operatore limitato
• Teoria di Fredholm