Disuguaglianza di Friedrichs

In matematica, in particolare in analisi funzionale, la disuguaglianza di Friedrichs è un teorema dovuto a Kurt Friedrichs che limita la L^p-norma di un funzione attraverso la L^p-norma delle sue derivate deboli e la geometria del dominio di definizione. Il risultato può essere quindi utilizzato per dimostrare che alcune norme in uno spazio di Sobolev sono equivalenti.

Enunciato

Sia $\mathrm{\Omega }$ un insieme limitato di ${ℝ}^n$ di diametro $d$, e sia $u:\mathrm{\Omega }\to ℝ$ una funzione appartenente allo spazio di Sobolev $W_0^{k,p}(\mathrm{\Omega })$. Allora vale che:

$\Vert u{\Vert }_{L^p(\mathrm{\Omega })}\le d^k{(\sum _{|\alpha |=k}\Vert {\mathrm{D}}^{\alpha }u{\Vert }_{L^p(\mathrm{\Omega })}^p)}^{1/p}$

Dove:

• $\Vert \cdot {\Vert }_{L^p(\mathrm{\Omega })}$ rappresenta la norma dello spazio $L^p(\mathrm{\Omega })$.
• $\alpha =({\alpha }_1,{\alpha }_2,\dots ,{\alpha }_n)$ è un multi-indice con norma $|\alpha |={\alpha }_1+{\alpha }_2+\dots +{\alpha }_n$;
• $D^{\alpha }u$ è la derivata parziale mista debole:

${\mathrm{D}}^{\alpha }u=\frac{{\partial }^{|\alpha |}u}{\underset{x_1}{\overset{{\alpha }_1}{\partial }}\cdots \underset{x_n}{\overset{{\alpha }_n}{\partial }}}$

Bibliografia

• Template:En K.O. Friedrichs, "Eine invariante Formulierung des Newtonschen Gravititationsgesetzes und des Grenzüberganges vom Einsteinschen zum Newtonschen Gesetz" Math. Ann. , 98 (1927) pp. 566–575
• Template:En S.L. Sobolev, "Applications of functional analysis in mathematical physics" , Amer. Math. Soc. (1963)
• Template:En S.M. Nikol'skii, P.I. Lizorkin, "On some inequalities for weight-class functions and boundary-value problems with a strong degeneracy at the boundary" Soviet Math. Dokl. , 5 (1964) pp. 1535–1539 Dokl. Akad. Nauk SSSR , 159 : 3 (1964) pp. 512–515
• Template:En S.M. Nikol'skii, Approximation of functions of several variables and imbedding theorems , Springer (1975)

Voci correlate

• Derivata debole
• Disuguaglianza di Poincaré
• Norma (matematica)
• Spazio di Sobolev
• Spazio Lp

Collegamenti esterni

• Template:SpringerEOM