Matrice hamiltoniana

In matematica, una matrice hamiltoniana $A$ è una qualsiasi matrice reale $A$ di dimensioni $2n\times 2n$ tale che $JA$ è simmetrica, ove $J$ è la matrice antisimmetrica

$J=\left[\begin{array}{cc}0& I_n\\ -I_n& 0\end{array}\right],$

e $I_n$ è la matrice identità di dimensioni $n\times n.$ In altre parole, $A$ è hamiltoniana se e solo se

$JA-A^T{J}^T=JA+A^{T}J=0.$

Nello spazio vettoriale di tutte le matrici $2n\times 2n$, le matrici di Hamilton Hamiltonian formano un sottospazio vettoriale di dimensione $2n^2+n$.

Proprietà

• Sia $M$ una matrice a blocchi di dimensioni $2n\times 2n$ data da

$M=\left(\begin{array}{cc}A& B\\ C& D\end{array}\right)$

in cui $A$, $B$, $C$, e $D$ sono matrici $n\times n$. Quindi $M$ è una matrice Hamiltoniana se le matrici $B$ e $C$ sono simmetriche, e $A+D^T=0$.

• La matrice trasposta di una matrice hamiltoniana è hamiltoniana.
• La traccia di una matrice hamiltoniana è nulla.
• Il commutatore di due matrici hamiltoniane è hamiltoniano.
• Gli autovalori di una matrice hamiltoniana sono simmetrici rispetto all'asse immaginario.
• Lo spazio di tutte le matrici hamiltoniane è un'algebra di Lie $𝔖𝔭(2n)$.

Operatore hamiltoniano

Sia $V$ uno spazio vettoriale fornito di una forma simplettica $\omega$. Una mappa lineare $A:V\mapsto V$ è detta operatore hamiltoniano rispetto ad $\omega$ se la forma $(x,y)\mapsto \omega (A(x),y)$ è simmetrica. Equivalentemente, deve soddisfare

$\omega (A(x),y)=-\omega (x,A(y)).$

Si scelga una base $e_1,\dots ,e_{2n}$ in $V$, tale che $\mathrm{\Omega }$ sia definibile come $\sum _{i=1}^n{e}_i\wedge e_{n+i}$. Un operatore lineare è hamiltoniano rispetto a $\omega$ se e solo se la sua matrice in questa base è hamiltoniana.

Da questa definizione, seguono le proprietà:

• una radice di una matrice hamiltoniana è anti-hamiltoniana;
• l'esponenziale di una matrice hamiltoniana è simplettica;
• il logaritmo di una matrice simplettica è hamiltoniano.

Intelligenza artificiale

Date le posizioni degli elettroni in una molecola, l'intelligenza artificiale è in grado di predire con precisione la matrice hamiltoniana descrivente gli stati degli atomi e l'energia ad essi associata.

Bibliografia

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Voci correlate

• William Rowan Hamilton
• Matrice antihamiltoniana