Lemma di Riemann-Lebesgue

Il lemma di Riemann-Lebesgue afferma che l'integrale della trasformata di una funzione tende ad annullarsi al crescere del numero di oscillazioni della funzione.

In matematica, in particolare nell'analisi armonica, il lemma di Riemann-Lebesgue, il cui nome è dovuto a Bernhard Riemann e Henri Lebesgue, è un teorema che afferma che la trasformata di Fourier o Laplace di una funzione integrabile si annulla all'infinito. Grazie ad esso è possibile dimostrare che $\{e^{int}{\}}_{n\in \mathbb{Z}}$è una base per lo spazio di Hilbert $L^2([0,2\pi ])$.

Il teorema

Sia $f:ℝ\to ℂ$ una funzione misurabile. Se $f$ è sommabile allora:

$\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{+\mathrm{\infty }}{\int }}f(x)e^{-izx}dx\to 0\text{ per }z\to \pm \mathrm{\infty }$

La trasformata di Fourier di $f$ tende quindi a $0$ per valori infiniti di $z$.

Il lemma di Riemann–Lebesgue è valido in diverse situazioni, riportate nel seguito.

• Se $f$ è in $L^1$ e definita in $(0,+\mathrm{\infty })$, allora il lemma di Riemann–Lebesgue è valido anche per la trasformata di Laplace $f$:

$\underset{0}{\overset{+\mathrm{\infty }}{\int }}f(t)e^{-tz}dt\to 0$

per $|z|\to +\mathrm{\infty }$ all'interno del semipiano $\mathrm{\Im }(z)\ge 0$.

• Se $f$ è in $L^1$ e definita su un intervallo limitato, allora i coefficienti di Fourier di $f$ tendono a $0$ per $n\to \pm \mathrm{\infty }$. Questo fatto si ottiene estendendo $f$ alla funzione nulla al di fuori dell'intervallo, ed applicando il lemma sull'intero asse reale.

• Il lemma di Riemann–Lebesgue è valido anche per la trasformata di Fourier in più dimensioni. Se $f\in L^1({ℝ}^n)$, allora:

$\hat{f}(\xi )\to 0\text{ per }|\xi |\to +\mathrm{\infty }$

dove $\hat{f}$ è la trasformata di Fourier:

$\hat{f}(\xi )=\underset{{ℝ}^n}{\int }{e}^{-ix\cdot \xi }f(x)dx$

Dimostrazione

Si consideri il caso monodimensionale, da cui segue senza difficoltà il caso in dimensione arbitraria, e sia $f$ una funzione liscia a supporto compatto. Integrando per parti in ogni variabile:

$|\int f(x)e^{-izx}dx|=|\int \frac{1}{iz}{f}^{\prime }(x)e^{-izx}dx|\le \frac{1}{|z|}\int |f^{\prime }(x)|dx\to 0\text{ per}z\to \pm \mathrm{\infty }$

Se $f$ è una funzione integrabile qualsiasi, può essere approssimata in $L^1$ da una funzione liscia a supporto compatto $g$ tale che $\Vert f-g{\Vert }_{L^1}<\epsilon$. Si ha allora:

$\underset{z\to \pm \mathrm{\infty }}{\mathrm{lim\; sup}}|\hat{f}(z)|\le \underset{z\to \pm \mathrm{\infty }}{\mathrm{lim\; sup}}|\int (f(x)-g(x))e^{-ixz}dx|+\underset{z\to \pm \mathrm{\infty }}{\mathrm{lim\; sup}}|\int g(x)e^{-ixz}dx|\le \epsilon +0=\epsilon$

e dal momento che questo vale per ogni $\epsilon >0$ segue la tesi.

Nel caso in cui $t\in ℂ$, si supponga che $f$ sia a supporto compatto su $(0,+\mathrm{\infty })$ e che sia differenziabile con continuità. Dette $F$ e $G$ le trasformate (di Fourier o Laplace) rispettivamente di $f$ e $f^{\prime }$, per le proprietà della trasformata si ha $F(t)=G(t)/t$, da cui $F(z)\to 0$ per $|t|\to +\mathrm{\infty }$. Poiché la funzione in tale forma è densa in $L^1(0,+\mathrm{\infty })$, ciò vale per ogni scelta di $f$.

Bibliografia

• Template:Cita libro
• Template:Cita libro p. 1101, 2000.

Voci correlate

• Funzione a supporto compatto
• Funzione liscia
• Funzione misurabile
• Trasformata di Fourier
• Trasformata di Laplace

Collegamenti esterni

• Weisstein, Eric W. Riemann-Lebesgue Lemma. From MathWorld