Insieme aperto

I punti $(x,y)$ del piano cartesiano che soddisfano la relazione $x^2+y^2=r^2$ formano una circonferenza qui disegnata in blu avente il centro nell'origine degli assi cartesiani e raggio $r$. I punti tali che $x^2+y^2<r^2$ sono disegnati in rosso. La parte disegnata in rosso forma un insieme aperto, mentre l'unione dei punti disegnati in rosso e di quelli in blu è un insieme chiuso.

Il concetto di insieme aperto si trova in matematica in molti ambiti e con diversi gradi di generalità. Intuitivamente, un insieme è aperto se è possibile spostarsi sufficientemente poco in ogni direzione a partire da ogni punto dell'insieme senza uscire dall'insieme stesso. In realtà, seguendo le definizioni generali ci si può allontanare abbastanza da questa idea intuitiva; attraverso la definizione di insieme aperto si possono definire concetti come "vicino", "lontano", "attaccato", "separato"; definizioni non intuitive di insiemi aperti corrisponderanno a situazioni matematiche in cui questi concetti vengono utilizzati in modo non intuitivo.

Spazi topologici

La topologia è l'ambito più generale in cui si incontrano gli insiemi aperti; in questo contesto il concetto di insieme aperto viene considerato fondamentale; preso un insieme $X,$ se una qualunque collezione $𝒯$ di sottoinsiemi di $X$ soddisfa le proprietà riportate sotto, $X$ diventa uno spazio topologico, $𝒯$ viene chiamata topologia di $X$ e gli insiemi di $𝒯,$ per definizione, i suoi aperti.

Perché la collezione $𝒯$ sia una topologia devono essere soddisfatte le seguenti condizioni:

1. l'unione di una collezione arbitraria di insiemi di $𝒯$ è ancora un insieme di $𝒯;$
2. l'intersezione di un numero finito di insiemi di $𝒯$ è ancora un insieme di $𝒯;$
3. l'insieme $X$ e l'insieme vuoto appartengono a $𝒯.$

Lo spazio topologico viene indicato specificando la coppia $(X,𝒯).$ È da notare che se si considera uno stesso insieme $X$ con due diverse topologie $𝒯$ e ${𝒯}^{\prime },$ si hanno due spazi topologici diversi; tuttavia in molti casi, in cui la struttura topologica emerge in modo "naturale", indicare l'insieme è sufficiente per individuare lo spazio topologico.

Spazi metrici

In uno spazio metrico $(M,d)$, un sottoinsieme $U$ di $M$ si dice aperto se, per ogni $x\in U$, esiste un numero reale $ϵ>0$ tale che i punti che distano da $x$ per meno di $ϵ$ appartengono ancora a $U$. Formalmente: se $d(x,y)<ϵ$, allora $y\in U$. Gli aperti metrici così definiti costituiscono una topologia di $M$ secondo la definizione precedente: in questo modo ogni spazio metrico è dotato in modo naturale di una struttura di spazio topologico, e tutti gli aperti metrici possono essere considerati aperti topologici (ma non viceversa).

Spazio euclideo

Lo spazio euclideo ${ℝ}^n$ è un particolare spazio metrico. Un insieme aperto $U$ dello spazio euclideo è un insieme tale che per ogni $x$ di $U$ esiste una palla di raggio $r>0$ centrata in $x$, interamente contenuta in $U$.

In particolare, un intervallo in $ℝ$ è aperto se è del tipo $(a,b)$, dove $a$ e $b$ possono anche essere rispettivamente $-\mathrm{\infty }$ e $+\mathrm{\infty }$.

Insieme chiuso

A ogni definizione di insieme aperto corrisponde una definizione di insieme chiuso. In generale, un insieme è chiuso se e solo se è il complementare di un insieme aperto; nell'ambito degli spazi topologici questa è esattamente la proprietà definitoria, negli altri ambiti si danno definizioni a parte e questa proprietà viene provata come un teorema.

Bibliografia

• Template:Cita libro
• Template:Cita libro
• Template:Cita libro

Voci correlate

• Insieme chiuso
• Intorno

Collegamenti esterni

• Template:Collegamenti esterni