Matrice jacobiana

In analisi matematica, in particolare nel calcolo vettoriale e nel calcolo infinitesimale, la matrice di Jacobi o matrice jacobiana di una funzione che ha dominio e codominio in uno spazio euclideo è la matrice i cui elementi sono le derivate parziali prime della funzione. Lo Jacobiano è il determinante della matrice jacobiana, quando questa è quadrata. Il nome è dovuto a Carl Gustav Jacob Jacobi. La sua importanza è legata al fatto che, nel caso la funzione sia differenziabile, la jacobiana rappresenta la migliore approssimazione lineare della funzione vicino a un punto dato. In questo senso la jacobiana permette di generalizzare il concetto di derivata estendendo tale nozione alle funzioni vettoriali di variabile vettoriale.

Definizione

Sia $𝐟:U\subset {ℝ}^n\to {ℝ}^m$ una funzione definita su un insieme aperto $U$ dello spazio euclideo ${ℝ}^n$. La matrice jacobiana della funzione $𝐟$ in $𝐱=(x_1,\dots ,x_n)$ è la matrice delle derivate parziali prime della funzione calcolate in $𝐱$:

$\mathrm{J}𝐟=\left[\begin{array}{ccc}\frac{\partial f_1}{\partial x_1}& \cdots & \frac{\partial f_1}{\partial x_n}\\ ⋮& \ddots & ⋮\\ \frac{\partial f_m}{\partial x_1}& \cdots & \frac{\partial f_m}{\partial x_n}\end{array}\right],(\mathrm{J}𝐟{)}_{ij}=\frac{\partial f_i(𝐱)}{\partial x_j}.$

Risulta quindi il prodotto tensoriale fra l'operatore differenziale vettoriale nabla e la funzione stessa:

${\mathrm{J}}_j={\mathrm{\nabla }}_j=\frac{\partial }{\partial x_j}.$

In particolare, dette:

$\{{𝐞}_j{\}}_{1\le j\le n}\{{𝐮}_i{\}}_{1\le i\le m},$

le basi canoniche di ${ℝ}^n$ e ${ℝ}^m$ rispettivamente, il $j$-esimo vettore colonna della matrice jacobiana è dato da:

$\frac{\partial }{\partial x_j}(𝐟\cdot {𝐞}_j)=\sum _{i=1}^m\frac{\partial f_i(𝐱)}{\partial x_j}\cdot {𝐮}_i$

dove il punto denota il prodotto scalare.

La jacobiana non è tuttavia una semplice rappresentazione matriciale delle derivate parziali. La funzione $𝐟$ è detta differenziabile in un punto ${𝐱}^{\prime }$ del dominio se esiste una applicazione lineare $𝐋:{ℝ}^n\to {ℝ}^m$ tale che valga l'approssimazione:

$𝐟({𝐱}^{\prime }+\mathrm{\Delta }𝐱)-𝐟({𝐱}^{\prime })=𝐋({𝐱}^{\prime })\mathrm{\Delta }𝐱+𝐫(\mathrm{\Delta }𝐱)$

dove il resto $𝐫(\mathrm{\Delta }𝐱)$ si annulla all'annullarsi dell'incremento $\mathrm{\Delta }𝐱$. Se la funzione $𝐟$ è differenziabile in ${𝐱}^{\prime }$, allora tutte le derivate parziali calcolate nel punto esistono. La jacobiana ${\mathrm{J}}_{𝐟({𝐱}^{\prime })}$ di $f$ in ${𝐱}^{\prime }$ è la matrice associata all'applicazione lineare $𝐋({𝐱}^{\prime })$ rispetto alle basi canoniche di ${ℝ}^n$ e ${ℝ}^m$:

$\begin{array}{cc}𝐋({𝐱}^{\prime })\mathrm{\Delta }𝐱& =\mathrm{J}𝐟({𝐱}^{\prime })\cdot \mathrm{\Delta }𝐱\\ & =\sum _{i=1}^m\left[\sum _{j=1}^n\frac{\partial f_i({𝐱}^{\prime })}{\partial x_j}\mathrm{\Delta }{x}_j\right]\cdot {𝐮}_i\\ & =\left[\begin{array}{ccc}\frac{\partial f_1}{\partial x_1}& \cdots & \frac{\partial f_1}{\partial x_n}\\ ⋮& \ddots & ⋮\\ \frac{\partial f_m}{\partial x_1}& \cdots & \frac{\partial f_m}{\partial x_n}\end{array}\right]\cdot \mathrm{\Delta }𝐱\end{array}$

La jacobiana estende così il concetto di derivata di una funzione reale (complessa) in una (due) variabili al caso di una funzione definita in ${ℝ}^n$.

Casi notevoli

A seconda delle dimensioni $m$ e $n$, la jacobiana ha diverse interpretazioni geometriche:

• Se $m=1$, la jacobiana si riduce a un vettore $n$-dimensionale, chiamato gradiente di $f$ in $𝐱$. In tal caso si ha:

$L(𝐱)=\mathrm{\nabla }f=\sum _{i=1}^n\frac{\partial f(𝐱)}{\partial x_i}\cdot {𝐞}_i$

Il gradiente indica la direzione di "massima pendenza" del grafico della funzione nel punto.

• Se $n=1$, la funzione $f$ parametrizza una curva in ${ℝ}^m$, il suo differenziale è una funzione che definisce la direzione della retta tangente alla curva nel punto.

• Se $m=n=1$, la condizione di differenziabilità coincide con la condizione di derivabilità. La matrice jacobiana si riduce a un numero, cioè la derivata.

Diverse combinazioni lineari di derivate parziali risultano molto importanti nell'ambito delle equazioni differenziali che coinvolgono una funzione vettoriale da ${ℝ}^n$ in sé. In particolare, la divergenza è un campo scalare che misura la tendenza di un campo vettoriale a divergere o a convergere verso un punto dello spazio, e consente di calcolare il flusso del campo attraverso il teorema della divergenza. Il rotore di un campo vettoriale, inoltre, ne descrive la rotazione infinitesima associando a ogni punto dello spazio un vettore. Tale vettore è allineato con l'asse di rotazione, il suo verso è coerente con quello della rotazione secondo la regola della mano destra e la sua lunghezza quantifica l'entità della rotazione.

Jacobiano

Se $m=n$, allora $f$ è una funzione dallo spazio $n$-dimensionale in sé e la jacobiana è una matrice quadrata. Si può in tal caso calcolare il suo determinante, noto come jacobiano.

Lo jacobiano in un dato punto fornisce importanti informazioni circa il comportamento di $f$ nell'intorno del punto. Per esempio, una funzione $f$ differenziabile con continuità è invertibile vicino a ${𝐱}^{\prime }$ se lo jacobiano in ${𝐱}^{\prime }$ è non nullo, come stabilisce il teorema della funzione inversa. Inoltre, se lo jacobiano in ${𝐱}^{\prime }$ è positivo $f$ preserva l'orientazione vicino a ${𝐱}^{\prime }$, mentre se il determinante è negativo $f$ inverte l'orientazione.

Il valore assoluto dello jacobiano in ${𝐱}^{\prime }$ fornisce il fattore del quale la funzione $f$ espande o riduce i volumi vicino a ${𝐱}^{\prime }$: per questo motivo esso compare nella generale regola di sostituzione.

Esempio

Lo jacobiano della funzione $f:{ℝ}^3\to {ℝ}^3$ con componenti:

$\{\begin{array}{c}{f}_1=5x_2\\ f_2=4x_1^2-2\sin (x_2{x}_3)\\ f_3=x_2{x}_3\end{array}$

è:

$\left|\begin{array}{ccc}0& 5& 0\\ 8x_1& -2x_3\cos (x_2{x}_3)& -2x_2\cos (x_2{x}_3)\\ 0& x_3& x_2\end{array}\right|=-8x_1\left|\begin{array}{cc}5& 0\\ x_3& x_2\end{array}\right|=-40x_1{x}_2$

Da questo si vede che $f$ inverte l'orientazione vicino a quei punti dove $x_1$ e $x_2$ hanno lo stesso segno. La funzione è localmente invertibile ovunque eccetto i punti caratterizzati da $x_1=0$ e da $x_2=0$. Se si inizia con un piccolo volume in un intorno del punto $(1,1,1)$ e si applica $f$ a tale volume, si ottiene un volume 40 volte superiore all'originale.

Bibliografia

• Nicola Fusco, Paolo Marcellini, Carlo Sbordone, Lezioni di analisi matematica due, Zanichelli, 2020, ISBN 9788808520203.
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• F.R. Gantmakher, M.G. Krein, Oscillation matrices and kernels and small vibrations of mechanical systems, Dept. Commerce USA. Joint Publ. Service (1961)

Voci correlate

• Derivata parziale
• Funzione differenziabile
• Matrice di trasformazione
• Matrice hessiana
• Trasformazione lineare
• Derivata totale

Collegamenti esterni

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