Matrice hessiana

In analisi matematica, la matrice hessiana di una funzione di $n$ variabili a valori in un campo di scalari, anche detta matrice di Hesse o semplicemente hessiana (o ultragradiente), è la matrice quadrata $n\times n$ delle derivate parziali seconde della funzione. Il nome è dovuto a Ludwig Otto Hesse.

Definizione

Data una funzione reale di $n$ variabili reali $f:{ℝ}^n\to ℝ$, se tutte le sue derivate parziali seconde esistono allora si definisce matrice hessiana della funzione $f$ la matrice $\mathrm{H}f(𝐱)$ data da:

${\mathrm{H}}_f=\left[\begin{array}{cccc}\frac{{\partial }^{2}f}{\partial x_1^2}& \frac{{\partial }^{2}f}{\partial x_1\partial x_2}& \cdots & \frac{{\partial }^{2}f}{\partial x_1\partial x_n}\\ \\ \frac{{\partial }^{2}f}{\partial x_2\partial x_1}& \frac{{\partial }^{2}f}{\partial x_2^2}& \cdots & \frac{{\partial }^{2}f}{\partial x_2\partial x_n}\\ \\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ \\ \frac{{\partial }^{2}f}{\partial x_n\partial x_1}& \frac{{\partial }^{2}f}{\partial x_n\partial x_2}& \cdots & \frac{{\partial }^{2}f}{\partial x_n^2}\end{array}\right],(\mathrm{H}f{)}_{ij}=\frac{{\partial }^{2}f}{\partial x_i\partial x_j},$

cui si associa l'operatore:

${\mathrm{H}}_{ij}=\frac{{\partial }^2}{\partial x_i\partial x_j}.$

L'hessiana di fatto rappresenta la jacobiana del gradiente, sinteticamente:

$\mathrm{H}=\mathrm{J}\cdot \mathrm{\nabla }.$

Derivate miste e simmetria dell'hessiana

Template:Vedi anche Gli elementi fuori dalla diagonale principale nell'hessiana sono le derivate miste della funzione $f$. Con opportune ipotesi, vale il teorema seguente:

$\frac{\partial }{\partial x}\left(\frac{\partial f}{\partial y}\right)=\frac{\partial }{\partial y}\left(\frac{\partial f}{\partial x}\right).$

Questa uguaglianza si scrive anche come:

${\partial }_{xy}f={\partial }_{yx}f.$

In termini formali: se tutte le derivate seconde di $f$ sono continue in una regione $\mathrm{\Omega }$, allora l'hessiana di $f$ è una matrice simmetrica in ogni punto di $\mathrm{\Omega }$. La veridicità di questa affermazione è nota come teorema di Schwarz.

Punti critici e discriminante

Se il gradiente della funzione $f$ è nullo in un punto $𝐱$ appartenente al dominio della funzione, allora $f$ in $𝐱$ ha un punto critico. Il determinante dell'hessiana (detto semplicemente hessiano) in $𝐱$ è anche detto discriminante in $𝐱$. Se questo determinante è zero allora $𝐱$ è chiamato punto critico degenere della $f$. Negli altri punti viene chiamato non degenere.

Test per la derivata seconda

Il seguente criterio può essere applicato in un punto critico $𝐱$ non degenere:

• se l'hessiana è una matrice definita positiva in $𝐱$, allora $f$ ha un minimo locale in $𝐱$;

• se l'hessiana è una matrice definita negativa in $𝐱$, allora $f$ ha un massimo locale in $𝐱$;

• se l'hessiana ha almeno due autovalori di segno opposto allora $𝐱$ è un punto di sella per $f$.

Altrimenti il test è inconclusivo. Si noti che per hessiane semidefinite positive e semidefinite negative il test è inconclusivo. Quindi, possiamo vedere di più dal punto di vista della teoria di Morse.

Tenuto conto di quanto è stato appena detto, il test per le derivate seconde per funzioni di una e due variabili sono semplici.

In una variabile, l'hessiana contiene appena una derivata seconda:

• se questa è positiva allora $x$ è un minimo locale, se questa è negativa allora $x$ è un massimo locale;

• se questa è zero allora il test è inconclusivo.

In due variabili, può essere usato il determinante, perché è il prodotto degli autovalori:

• se questo è positivo allora gli autovalori sono entrambi positivi, o entrambi negativi;

• se questo è negativo allora i due autovalori hanno differente segno;

• se questo è zero, allora il test della derivata seconda è inconclusivo.

Funzioni a valori vettoriali

Se $f$ è invece una funzione a valori vettoriali, cioè se

$f:{ℝ}^m\to {ℝ}^n,$

allora il vettore delle derivate parziali seconde non è una matrice, ma un tensore di rango 3.

Bibliografia

• Nicola Fusco, Paolo Marcellini, Carlo Sbordone, Analisi Matematica Due, Liguori Editore, 1996, ISBN 88-207-2675-0.
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Voci correlate

• Derivata parziale
• Derivata mista
• Glossario sulle matrici
• Gradiente
• Matrice jacobiana

Collegamenti esterni

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