Teorema di Ceva

Il teorema di Ceva è un noto teorema in geometria elementare. Deve il suo nome a Giovanni Ceva, che ne diede dimostrazione nella sua opera De lineis rectis se invicem secantibus, statica constructio del 1678, anche se il primo a dimostrarlo fu Yusuf al-Mu'tamin ibn Hud, attorno all'XI secolo. Si definisce ceviana una retta che congiunge un vertice con un punto del lato opposto di un triangolo. Il teorema fornisce una condizione necessaria e sufficiente affinché tre ceviane si incontrino in uno stesso punto.

Enunciato

Siano A, B, C i vertici di un triangolo; li si congiungano con un punto O del piano e si indichino con D, E, F le intersezioni con i lati del triangolo.
Si ha la seguente relazione:

$\frac{AF}{FB}\cdot \frac{BD}{DC}\cdot \frac{CE}{EA}=1.$

Dimostrazione

Si considerino i triangoli $\mathrm{△}AFO$ e $\mathrm{△}FBO$. Si può notare che hanno in comune un'altezza relativa ai due segmenti $AF$ e $FB$, basi rispettivamente del primo e del secondo triangolo. Da questo, tenendo conto della formula $A=\frac{bh}{2}$, per l'area di un triangolo, si deduce che il rapporto tra le aree dei due triangoli è uguale al rapporto tra le rispettive basi:

$\frac{\mathrm{△}AFO}{\mathrm{△}FBO}=\frac{AF}{FB}$.

Similmente si può dimostrare che vale anche:

$\frac{\mathrm{△}AFC}{\mathrm{△}FBC}=\frac{AF}{FB},$

e di conseguenza, per la proprietà transitiva dell'uguaglianza si giunge a:

$\frac{\mathrm{△}AFC}{\mathrm{△}FBC}=\frac{\mathrm{△}AFO}{\mathrm{△}FBO}.$

Facendo riferimento alla figura, e tenendo conto della proprietà delle proporzioni:

$\frac{a}{b}=\frac{c}{d}⟹\frac{a}{b}=\frac{c}{d}=\frac{a-c}{b-d}$

possiamo infine scrivere che:

$\frac{\mathrm{△}AOC}{\mathrm{△}OBC}=\frac{AF}{FB}.$

Ragionando in modo analogo per i lati $BC$ e $CA$ scriveremo anche le proporzioni:

$\frac{\mathrm{△}BOA}{\mathrm{△}AOC}=\frac{BD}{DC}\text{ e }\frac{\mathrm{△}CBO}{\mathrm{△}BAO}=\frac{CE}{EA}$.

Moltiplicando tra loro le tre proporzioni così ottenute si nota che i vari termini si semplificano a vicenda dando come risultato 1:

$\frac{\mathrm{△}AOC}{\mathrm{△}OBC}\cdot \frac{\mathrm{△}BOA}{\mathrm{△}AOC}\cdot \frac{\mathrm{△}OBC}{\mathrm{△}BOA}=1.$

Forma trigonometrica

La formula del teorema può essere scritta in una forma trigonometrica equivalente:

$\frac{\sin \mathrm{\angle }BAD}{\sin \mathrm{\angle }CAD}\cdot \frac{\sin \mathrm{\angle }CBE}{\sin \mathrm{\angle }ABE}\cdot \frac{\sin \mathrm{\angle }ACF}{\sin \mathrm{\angle }BCF}=1.$

Una possibile dimostrazione di ciò avviene attraverso il teorema dei seni.

Voci correlate

• Ceviana
• Teorema di Menelao

Collegamenti esterni

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