Teorema di Menelao

Il teorema di Menelao è un noto teorema in geometria elementare, attribuito al matematico Menelao di Alessandria, che tratta dei triangoli nella geometria piana.

Enunciato

Dati un triangolo di vertici A, B, C e tre punti D, E ed F che giacciono rispettivamente sulle rette BC, AC e AB, D, E ed F sono allineati se e solo se:

$\frac{AF}{FB}\cdot \frac{BD}{DC}\cdot \frac{CE}{EA}=-1.$

In questa equazione, $AF$, $FB$, ecc., rappresentano la misura dei segmenti considerati con segno. Per esempio, la frazione $AF/FB$ ha segno positivo solo quando la retta per $D$, $E$ ed $F$ interseca il lato $AB$.

Si tiene anche conto dell'orientamento dei segmenti, cioè:

$AB=-BA$

Dimostrazione

Teorema di Menelao, caso 1: la retta DEF non interseca il triangolo ABC.

Teorema di Menelao, caso 2: la retta DEF interseca il triangolo ABC.

Si osserva che il membro a sinistra dell'equazione ha segno negativo se tutti e tre i rapporti sono negativi, caso in cui la retta $DEF$ non interseca il triangolo, oppure un rapporto è negativo e gli altri due positivi, caso in cui la retta $DEF$ interseca il triangolo in due punti (si veda l'assioma di Pasch).

Si costruiscano le perpendicolari da $A$, $B$ e $C$ su $DEF$, le chiamo rispettivamente $a$,$b$ e $c$. Ora per similitudine di triangoli, segue che:

$\left|\frac{AF}{FB}\right|=\left|\frac{a}{b}\right|,\left|\frac{BD}{DC}\right|=\left|\frac{b}{c}\right|,\left|\frac{CE}{EA}\right|=\left|\frac{c}{a}\right|$

Cioè:

$\left|\frac{AF}{FB}\right|\cdot \left|\frac{BD}{DC}\right|\cdot \left|\frac{CE}{EA}\right|=|\frac{a}{b}\cdot \frac{b}{c}\cdot \frac{c}{a}|=1$

Dove l'ultima uguaglianza si è ottenuta semplificando le frazioni all'interno del modulo.

Per l'altro verso dell'implicazione:

siano $D,E$ ed $F$ appartenenti rispettivamente alle rette $BC,AC$ e $AB$, in modo che l'equazione valga. Sia $F^{\prime }$ il punto in cui le rette $DE$ e $AB$ si intersecano. Allora per quanto dimostrato in precedenza anche $D,E$ ed $F^{\prime }$ verificano l'equazione. Confrontandole:

$\frac{AF}{FB}=\frac{A{F}^{\prime }}{F^{\prime }B}$

Ma al più un punto può spezzare un segmento in due con un dato rapporto, quindi si conclude che:

$F=F^{\prime }.$

Voci correlate

• Assioma di Pasch
• Teorema di Ceva

Collegamenti esterni

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• Giuseppe Peano, Calcolo geometrico secondo l'Ausdehnungslhere di H. Grassmann, Fratelli Bocca Editori, 1888, pp. 44-48. http://mathematica.sns.it/opere/138/