Ceviana

In geometria, una ceviana è genericamente un segmento che congiunge un vertice del triangolo al suo lato opposto, o al suo prolungamento; mentre con retta ceviana si intende per estensione la retta su cui giace.

Particolarmente importanti sono le ceviane concorrenti in un unico punto, detto appunto cevianoTemplate:Lnle cui condizioni di sufficienza sono dettate dal teorema di CevaTemplate:Lndesignando sui lati opposti anche tre punti che sono i vertici del relativo triangolo ceviano il cui circumcerchio è detto cerchio ceviano.

Lunghezza

Un triangolo con una ceviana di lunghezza $d$

Teorema di Stewart

La lunghezza di una ceviana può essere calcolata con il teorema di Stewart. Nella figura, la lunghezza della ceviana $d$ è data dalla formula:

$b^{2}m+c^{2}n=a(d^2+mn).$

Mediana

La ceviana può essere una mediana. In questo caso la sua lunghezza è data dalla formula:

$m(b^2+c^2)=a(d^2+m^2)$

oppure

$2(b^2+c^2)=4d^2+a^2$

da cui

$a=2m.$

In questo caso

$d=\sqrt{\frac{2b^2+2c^2-a^2}{4}}.$

Bisettrice

La ceviana può essere una bisettrice. In questo caso la sua lunghezza è data dalla formula:

$(b+c{)}^2=a^2(\frac{d^2}{mn}+1),$

e

$d^2+mn=bc$

e

$d=\frac{2\sqrt{bcs(s-a)}}{b+c}$

dove $s=(a+b+c)/2$ è il semiperimetro.

Il lato di lunghezza $a$ è diviso secondo la proporzione $b:c$.

Altezza

La ceviana può essere una altezza del triangolo. In questo caso la sua lunghezza è data dalla formula:

$d^2=b^2-n^2=c^2-m^2$

e

$d=\frac{2\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}}{a},$

dove $s=(a+b+c)/2$ è il semiperimetro.

Ceviane concorrenti

O è il punto ceviano e AA', BB' e CC' sono le ceviane

Tre ceviane concorrenti individuano un punto ceviano che può essere sia interno che esterno al perimetro del triangolo; nel primo caso anche tutte e tre le ceviane sono interne alla figura, invece quando è esterno solo una rimane interna e lo raggiunge solo se prolungata, mentre le altre due incrociano direttamente il punto e intersecano i prolungamenti dei lati.

O è il punto ceviano e AA', BB' e CC' sono le ceviane

È possibile determinare anche la lunghezza delle ceviane concorrenti avendo coordinate trilineari (α, β, γ) del punto di concorrenza, le lunghezze dei rispettivi lati a, b e c i lati del triangolo, attraverso la seguente formula:

$o_i=\frac{\sqrt{l_j{l}_k[l_j{l}_k({\omega }_j^2+{\omega }_k^2)+{\omega }_j{\omega }_k(l_j^2+l_k^2-l_i^2)]}}{l_j{\omega }_j+l_k{\omega }_k}$

dove l_x indica il lato e ω_x la coordinata trilineare relativa del punto.

Il punto di concorrenza inoltre segna sulle tre ceviane tre rapporti r_i tra la sua distanza dal vertice I e il punto di intersezione col lato opposto:

$r_a=\frac{AO}{O{A}^{\prime }}$; $r_b=\frac{BO}{O{B}^{\prime }}$; $r_c=\frac{CO}{O{C}^{\prime }}$

Per questi rapporti valgono le seguenti relazioni di somme e prodotto:

$r_a+r_b+r_c=\frac{b\beta +c\gamma }{a\alpha }+\frac{a\alpha +c\gamma }{b\beta }+\frac{a\alpha +b\beta }{c\gamma }$

$r_a{r}_b{r}_c=\frac{(a\alpha +b\beta )(b\beta +c\gamma )(a\alpha +c\gamma )}{abc\alpha \beta \gamma }$

i cui valori sono rispettivamente ≥6 e a ≥8.

Collegamenti esterni

• Template:Collegamenti esterni
• Template:En Ross Honsberger, Episodes in Nineteenth and Twentieth Century Euclidean Geometry, MAA, Cambridge University Press, 1995 ISBN 978-0-88385-639-0, p. 13 et 137.
• Template:En Vladimir Karapetoff, Some properties of correlative vertex lines in a plane triangle, American Mathematical Monthly, 36 (1929), 476–9 jstor.