Disuguaglianza di Pólya-Szegő

In analisi funzionale, una branca della matematica, la disuguaglianza di Pólya-Szegő o disuguaglianza di Szegő afferma che se una funzione appartiene allo spazio di Sobolev $W^{1,p}$ allora anche il suo riordinamento radiale appartiene a tale spazio; inoltre il riordinamento ha norma minore o al più uguale.

La disuguaglianza

Siano $1\le p<+\mathrm{\infty }$ e $u:{ℝ}^n\to {ℝ}^{+}$ di $W^{1,p}({ℝ}^n)$. Allora vale:

$\underset{{ℝ}^n}{\int }|\mathrm{\nabla }{u}^{*}{|}^{p}d{\mathscr{H}}^n\le \underset{{ℝ}^n}{\int }|\mathrm{\nabla }u{|}^{p}d{\mathscr{H}}^n$

Dimostrazione

La dimostrazione fa uso della disuguaglianza di Hölder, della formula di coarea e della disuguaglianza isoperimetrica, ed è più semplice nel caso in cui $p>1$. Sia $\mathrm{\Omega }$ un aperto contenente il compatto su cui è definita la funzione.

Le funzioni $C^{\mathrm{\infty }}$ a supporto compatto in $\mathrm{\Omega }$ sono un sottoinsieme denso di $W_0^{1,p}(\mathrm{\Omega })$. Si può trovare quindi una successione $u_k$ tale che $u_k\to u$ in norma $W^{1,p}(\mathrm{\Omega })$. Le $u_k$ sono chiaramente Lipschitziane essendo almeno $C^1(\mathrm{\Omega })$ e a supporto compatto. Per le funzioni Lipschitziane vale:

${(\underset{{ℝ}^n}{\int }|\mathrm{\nabla }{u}_k^{*}(x){|}^{p}dx)}^{\frac{1}{p}}⩽{(\underset{{ℝ}^n}{\int }|\mathrm{\nabla }{u}_k(x){|}^{p}dx)}^{\frac{1}{p}}$

La successione di funzioni $u_k$ è convergente in $W^{1,p}(\mathrm{\Omega })$, e quindi limitata. Quindi la successione $u_k^{*}$ è limitata in $W^{1,p}(\mathrm{\Omega })$. Lo spazio $W^{1,p}(\mathrm{\Omega })$ è uno spazio riflessivo, esiste allora una sottosuccessione debolmente convergente. Cioè esiste $v\in W^{1,p}(\mathrm{\Omega })$ tale che:

$u_{k_j}^{*}\stackrel{W^{1,p}}{\rightharpoonup }v$

e per la semicontinuità della norma in topologia debole:

$\begin{array}{cc}\Vert v{\Vert }_{W_{1,p}}& ⩽\underset{j\to \mathrm{\infty }}{\mathrm{lim\; inf}}\Vert u_{k_j}^{*}{\Vert }_{W_{1,p}}\\ & ⩽\underset{j\to \mathrm{\infty }}{\mathrm{lim\; inf}}\Vert u_{k_j}{\Vert }_{W_{1,p}}\\ & =\Vert u{\Vert }_{W_{1,p}}\end{array}$

La convergenza debole in $W^{1,p}$ implica la convergenza forte in $L^p$ e la convergenza forte implica l'esistenza di una sottosuccessione convergente puntualmente. Quindi a meno di passare a una sottosuccessione si può supporre $u_k^{*}\to v$ puntualmente. Essendo $\mathrm{\Omega }$ limitato si ha l'inclusione compatta di $W^{1,p}(\mathrm{\Omega })$ in $L^p(\mathrm{\Omega })$ e quindi a meno di passare a una sottosuccessione si può supporre che anche $u_k\to u$ puntualmente. Il limite puntuale delle riarrangiate coincide con la riarrangiata dei limiti puntuali, quindi si ottiene che $v=u^{*}$.

Bibliografia

• Template:En G. A. Anastassiou, Fractional Differentiation Inequalities, Springer, Dordrecht, 2009. ISBN 978-0-387-98127-7 (Print) 978-0-387-98128-4 (Online)
• Template:EnZ. Dahmani; L. Tabharit, Template:Collegamento interrotto, J. Adv. Res. Pure Math. 2 (2010), 31{38.

Voci correlate

• Formula di coarea
• Gábor Szegő
• George Polya
• Riordinamento radiale
• Spazio di Sobolev
• Teorema di Brothers-Ziemer

Collegamenti esterni

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