Sottogruppo caratteristico

In matematica, un sottogruppo caratteristico di un gruppo $G$ è un sottogruppo $H$ tale che $ϕ (H) = H$ per ogni automorfismo $ϕ$ di $G$ . Esempi di sottogruppi caratteristici sono il sottogruppo banale ${e}$ formato dal solo elemento neutro di $G$ , $G$ stesso, il centro e il sottogruppo derivato di $G$ .

Esempi

Il centro di un gruppo $G$ è sempre un sottogruppo caratteristico. Infatti, dato un elemento $g \in Z (G)$ , abbiamo che $(\forall h \in G) g h = h g$ . Ma allora, dato $ϕ$ automorfismo, abbiamo che $\forall h \in G$ :

ϕ (g) h = ϕ (g) ϕ (ϕ^{- 1} (h)) = ϕ (g ϕ^{- 1} (h)) = ϕ (ϕ^{- 1} (h) g) = ϕ (ϕ^{- 1} (h)) ϕ (g) = h ϕ (g)

ovvero

ϕ (g) \in Z (G)

.

Il sottogruppo derivato di $G$ , ovvero il sottogruppo generato dai commutatori, è caratteristico, perché l'immagine di ogni commutatore è ancora un commutatore; più precisamente,

ϕ ([g, h]) = [ϕ (g), ϕ (h)]

.

Più in generale, ogni elemento delle: serie centrale discendente, serie centrale ascendente, serie derivata, $p$ -serie discendente, serie di Jennings è un sottogruppo caratteristico.

Se $H$ è l'unico sottogruppo di $G$ di una certa cardinalità $n$ , allora $H$ è caratteristico, perché per ogni automorfismo $ϕ$ l'immagine $ϕ (H)$ è ancora un sottogruppo di cardinalità $n$ . Questa condizione non è necessaria: ad esempio, se $G = D_{4} = ⟨ σ, τ ⟩$ è il gruppo diedrale con 8 elementi (dove $σ$ è la rotazione e $τ$ una riflessione), allora $⟨ σ^{2} ⟩$ è un sottogruppo caratteristico (essendo il centro di $G$ ) che ha ordine 2, mentre $⟨ τ ⟩$ è un sottogruppo non caratteristico di ordine 2.

Ogni sottogruppo di un gruppo ciclico finito è caratteristico (perché non ve ne sono altri della stessa cardinalità).

Ogni sottogruppo caratteristico è normale; questo segue dal fatto che un sottogruppo è normale in $G$ se e solo se è fissato da ogni automorfismo interno. Viceversa, un sottogruppo normale può non essere caratteristico: ad esempio, il prodotto diretto $G = ℤ_{2} \times ℤ_{2}$ è abeliano, per cui tutti i suoi sottogruppi sono normali, ma l'applicazione $ϕ$ , definita da

ϕ ((a, b)) = (b, a)

è un automorfismo che manda il sottogruppo

⟨ (1, 0) ⟩

in

⟨ (0, 1) ⟩

, non in sé.

Siano $K < H < G$ . Se $K$ è caratteristico in $H$ e $H$ è caratteristico in $G$ , $K$ lo è anche in $G$ . Non è però sufficiente una sola delle due ipotesi: né un sottogruppo non caratteristico di un sottogruppo caratteristico, né un sottogruppo caratteristico di un sottogruppo non caratteristico sono necessariamente caratteristici.