Sottogruppo derivato

In algebra, in particolare in teoria dei gruppi, il sottogruppo derivato di un gruppo è il sottogruppo generato dai suoi commutatori.

Il derivato di un gruppo $G$ si denota solitamente con $\mathrm{D}G$ o $[G,G]$, mentre l'iterata $n$-esima della derivazione di $G$ si denota con ${\mathrm{D}}^{n}G$.

Definizione

Sia $(G,\cdot )$ un gruppo, $g,h\in G$. Il commutatore di $g$ e $h$ (in quest'ordine!) si definisce come $[g,h]=gh{g}^{-1}{h}^{-1}$. Sia $S=\{[g,h]|g,h\in G\}$l'insieme dei commutatori di $G$. Il derivato $\mathrm{D}G$ si definisce come il sottogruppo generato da $S$, ovvero il più piccolo sottogruppo di $G$ che contiene $S$.

Proprietà

Il sottogruppo derivato $\mathrm{D}G$ è un sottogruppo caratteristico di $G$. Infatti, se $\phi$ è un automorfismo di $G$, allora

$\phi ([g,h])=\phi (gh{g}^{-1}{h}^{-1})=\phi (g)\phi (h)\phi (g{)}^{-1}\phi (h{)}^{-1}=[\phi (g),\phi (h)]\in \mathrm{D}G$,

cioè l'insieme dei commutatori (e quindi il sottogruppo che esso genera, ovvero il sottogruppo derivato) è fissato da ogni automorfismo.

In quanto caratteristico, il derivato è quindi normale in $G$, ed è ben definito il gruppo quoziente $G/\mathrm{D}G$. È chiaro dalle definizioni che $G/\mathrm{D}G$ è sempre abeliano. Tale quoziente viene detto abelianizzato di $G$.

Un gruppo è abeliano se e solo se il suo derivato è il gruppo banale. Un sottogruppo normale $N⊲G$ fornisce un quoziente $G/N$ abeliano se e solo se $\mathrm{D}G\subseteq N$. In altre parole, $DG$ è il minimo sottogruppo per cui bisogna quozientare per ottenere un quoziente abeliano.

Applicazioni

Un'importante applicazione del concetto di derivato di un gruppo è il seguente criterio per la risolubilità di un gruppo finito: se $G$ è un gruppo finito, allora $G$ è risolubile se e solo se la serie dei derivati

$G\supseteq \mathrm{D}G\supseteq {\mathrm{D}}^{2}G\supseteq \dots \supseteq {\mathrm{D}}^{n}G\supseteq \dots$

termina al gruppo banale, cioè se e solo se esiste $n\in \mathbb{N}$ per cui ${\mathrm{D}}^{n}G=\{1_G\}$.

La risolubilità di un gruppo ha conseguenze importanti non solo in teoria dei gruppi, ma anche in sue applicazioni ad esempio alla teoria di Galois. Si veda a tale proposito il concetto di risolubilità per radicali.

Bibliografia

• S. Bosch, Algebra, Springer-Verlag, 2003.
• A. Machì, Gruppi. Una Introduzione a Idee e Metodi della Teoria dei Gruppi, Springer, 2007.