Automorfismo interno

Template:S Template:F Un automorfismo interno di un gruppo è un automorfismo indotto da un elemento $g$ del gruppo tramite coniugio, cioè un automorfismo nella forma

$T_g(x)=g^{-1}xg$

per un elemento fissato $g$ del gruppo. Infatti questa funzione è un omomorfismo iniettivo e suriettivo, ovvero un isomorfismo.

Un automorfismo che non è interno è detto esterno.

In un gruppo abeliano l'unico automorfismo interno è l'identità. Inoltre due elementi $g$ ed $h$ che appartengono allo stesso laterale del centro $Z$ inducono lo stesso automorfismo interno. Infatti se $g=hz$ con $z$ nel centro allora

$g^{-1}xg$ = $z^{-1}{h}^{-1}xhz$ = $h^{-1}xh.$

L'insieme degli automorfismi interni forma un gruppo, denotato con $\mathrm{Inn}(G)$, che è un sottogruppo normale del gruppo $\mathrm{Aut}(G)$ degli automorfismi del gruppo $G$. Il gruppo $\mathrm{Inn}(G)$ è isomorfo al gruppo quoziente $G/Z(G)$, dove $Z(G)$ è il centro di $G$.

Nel gruppo simmetrico su $n$ elementi, se $n\ne 6$, tutti gli automorfismi sono interni.

Collegamenti esterni

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