Teorema di Sharkovsky

In matematica e fisica, il teorema di Sharkovsky è un risultato di estrema importanza nello studio delle orbite periodiche di un sistema dinamico discreto. Il teorema afferma che se si ha un sistema dinamico in cui la funzione di iterazione $f$ è una funzione continua avente dominio e immagine in un intervallo reale $I$ , allora se il sistema ammette un'orbita di periodo $s$ esso ammette anche orbite di periodo $k$ se $k$ precede $s$ in un particolare ordinamento detto ordinamento di Sharkovsky.

Ordinamento di Sharkovsky

Dato un intervallo $I \subset ℝ$ , sia $f : I \to I$ una funzione continua. Il numero $x$ è un punto periodico di periodo $m$ se $f^{m} (x) = x$ , dove $f^{m}$ è la composizione di $m$ copie di $f$ . Si tratta di un punto periodico avente periodo primitivo $m$ se, inoltre, $f^{k} (x) \neq x$ per tutti gli $0 < k < m$ .

Per conoscere i possibili periodi dei punti periodici di $f$ , si consideri il seguente ordinamento di numeri naturali, detto ordinamento di Sharkovsky:

\begin{matrix} 3 & 5 & 7 & 9 & 11 & \dots & (2 n + 1) \cdot 2^{0} & \dots \\ 3 \cdot 2 & 5 \cdot 2 & 7 \cdot 2 & 9 \cdot 2 & 11 \cdot 2 & \dots & (2 n + 1) \cdot 2^{1} & \dots \\ 3 \cdot 2^{2} & 5 \cdot 2^{2} & 7 \cdot 2^{2} & 9 \cdot 2^{2} & 11 \cdot 2^{2} & \dots & (2 n + 1) \cdot 2^{2} & \dots \\ 3 \cdot 2^{3} & 5 \cdot 2^{3} & 7 \cdot 2^{3} & 9 \cdot 2^{3} & 11 \cdot 2^{3} & \dots & (2 n + 1) \cdot 2^{3} & \dots \\ ⋮ \\ \dots & 2^{n} & \dots & 2^{4} & 2^{3} & 2^{2} & 2 & 1 \end{matrix}

dove ogni numero naturale compare una e una sola volta all'interno dell'ordinamento di Sharkovsky, dunque è un ordinamento totale sui numeri naturali.

Il teorema di Sharkovsky stabilisce che se $f$ ha punto periodico di periodo primitivo $m$ e $m$ precede $n$ nell'ordinamento di Sharkovsky, allora $f$ possiede anche un punto periodico con periodo primitivo $n$ .

In particolare, se non esiste un'orbita 8-periodica allora non può esistere nessuna orbita all'infuori di quella 2-periodica e di quella 4-periodica. E se non esistono orbite 2-periodiche, non vi saranno orbite di alcun periodo. L'esistenza di un'orbita di periodo 3 garantisce invece la presenza di orbite di ogni periodo. Il comportamento di un sistema dinamico in cui sia presente l'orbita 3-periodica è dunque particolarmente studiato.

Dimostrazione

Si consideri un caso particolare in cui esiste l'orbita 3-periodica; si vuole dimostrare che esistono orbite di ogni periodo. Siano dunque $a$ , $b$ e $c$ i tre punti dell'orbita e si supponga che $f (a) = b$ , $f (b) = c$ e $f (c) = a$ . Si utilizzano due lemmi di carattere generale sulle funzioni continue:

Teorema del punto fisso di Brouwer: sia $f$ una funzione continua. Se esiste un intervallo $I$ tale che $f (I)$ contenga $I$ , allora esiste almeno un punto fisso in $I$ , cioè esiste almeno un $p$ appartenente a $I$ tale che $f (p) = p$ .
Sia $f$ una funzione continua. Se esistono due intervalli $U$ e $V$ tali che $f (U)$ contenga $V$ , allora esiste un intervallo $U_{0}$ contenuto in $U$ tale che $f (U_{0}) = V$ .

Per dimostrare l'esistenza di un'orbita 1-periodica, cioè un punto fisso, sia $I_{0}$ l'intervallo $[a, b]$ e $I_{1}$ l'intervallo $[b, c]$ . Poiché $f (b) = c$ e $f (c) = a$ , per il teorema dei valori intermedi $f (I_{1})$ contiene $[a, c]$ e dunque contiene $I_{1}$ . Ma allora per il primo lemma esiste sicuramente un punto fisso per $f$ all'interno di $I_{1}$ .

Sia dunque $n > 1$ e $n \neq 3$ . Si vuole dimostrare l'esistenza di un'orbita di minimo periodo $n$ . Per fare questo si costruisce una famiglia di intervalli $J_{n}$ tale che:

$I_{1} = J_{0} \supset J_{1} \supset J_{2} \dots \supset J_{n}$
$f (J_{k}) = J_{k - 1} k = 1, \dots, n - 2$
$f^{k} (J_{k}) = I_{1}$
$f^{n - 1} (J_{n - 1}) = I_{0}$
$f^{n} (J_{n}) = I_{1}$

Prima di dimostrare che gli intervalli $J_{n}$ esistono, si nota come essi possono aiutare a dimostrare l'esistenza dell'orbita n-periodica: la (5) implica che $f (J_{n})$ contiene $J_{n}$ e dunque, per il primo lemma, esiste un punto fisso $p$ per l'iterata n-esima che per costruzione sta in $I_{1}$ . Questo però non è detto che appartenga ad un'orbita di minimo periodo $n$ (a meno che $n$ non sia primo), poiché se $n$ è pari, ogni punto di un'orbita 2-periodica, appartiene anche all'orbita n-periodica.

Si nota che $p$ non può coincidere con $c$ ; infatti se così fosse, poiché $f (p) = f (c) = a$ e dato che l'unica iterata che consente di uscire dall'intervallo $I_{1}$ è la (n-1)-esima, si avrebbe che $n = 2$ , contraddicendo l'ipotesi che $c$ faccia parte dell'orbita 3-periodica. Ma $p$ non può nemmeno essere uguale a $b$ , poiché $f^{2} (p) = f^{2} (b) = a$ implicherebbe, per lo stesso motivo di prima, $n = 3$ , ma per ipotesi abbiamo deciso di considerare $n$ diverso da 3. Dunque $p$ appartiene all'intervallo aperto $(b, c)$ . Ma poiché $f^{n - 1} (p)$ appartiene a $I_{0}$ , si ha che $p$ è diverso da $f^{n - 1} (p)$ , poiché appartengono a due intervalli disgiunti. Ne segue che $p$ non può appartenere ad un'orbita (n-1)-periodica. Se poi il periodo fosse strettamente minore di n-1, la (3) implicherebbe che l'orbita deve rimanere sempre all'interno di $I_{1}$ , ma la (4) mostra che questo è impossibile. Dunque il minimo periodo dell'orbita cui $p$ appartiene è $n$ .

Rimane da dimostrare l'esistenza degli intervalli $J_{k}$ . Per costruirli si pone $J_{0} = I_{1}$ ; perciò $f (J_{0})$ contiene $I$ che contiene $J_{0}$ e per il secondo lemma esiste dunque un intervallo $J_{1}$ contenuto in $J_{0}$ tale che $f (J_{1}) = J_{0}$ . Ma il fatto che $f (J_{1}) = J_{0}$ e che $J_{0}$ contiene $J_{1}$ implicano l'esistenza di un intervallo $J_{2}$ contenuto in $J_{1}$ tale che $f (J_{2}) = J_{1}$ , e così via fino a $J_{n - 1}$ . In questo modo la (1) e la (2) sono verificate. Per la (3) si osserva che:

f^{k} (J_{k}) = f^{k - 1} (f (J_{k})) = f^{k - 1} (J_{k - 1})

e a cascata si giunge a $f^{k} (J_{k}) = J_{0} = I_{1}$ . Per la (4) si osserva che:

f^{n - 1} (J_{n - 2}) = f (f^{n - 2} (J_{n - 2})) = f (I_{1}) = I

che contiene $I_{0}$ ; dunque, per il secondo lemma, esiste un intervallo $J_{n - 1}$ contenuto in $J_{n - 2}$ tale che:

f^{n - 1} (J_{n - 1}) = I_{0}

Similmente per la (5), poiché:

f^{n} J_{n - 1} = f (f^{n - 1} (J_{n - 1})) = f (I_{0})

che contiene $I_{1}$ , si deduce, sempre grazie al secondo lemma, che esiste un intervallo $J_{n}$ tale che $f^{n} (J_{n}) = I_{1}$ .

Bibliografia

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Template:En Borwein, J. and Bailey, D. Mathematics by Experiment: Plausible Reasoning in the 21st Century. Wellesley, MA: A K Peters, 2003.
Template:En Conway, J. H. and Guy, R. K. "Periodic Points." In The Book of Numbers. New York: Springer-Verlag, pp. 207-208, 1996.
Template:En Devaney, R. L. An Introduction to Chaotic Dynamical Systems, 2nd ed. Reading, MA: Addison-Wesley, 1989.
Template:En Elaydi, S. "On a Converse of Sharkovsky's Theorem." Amer. Math. Monthly 103, 386-392, 1996.

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