Polinomio di Legendre

In matematica per funzioni di Legendre si intendono le soluzioni dell'equazione di Legendre, un'equazione differenziale ordinaria che si incontra spesso nella fisica e in vari settori tecnologici: ad esempio nella soluzione in coordinate sferiche dell'equazione di Laplace e di equazioni differenziali alle derivate parziali. Queste funzioni sono così chiamate in onore di Adrien-Marie Legendre, e spesso intervengono nella soluzione dell'equazione di Schrödinger.

Definizione

Grafico dei polinomi di Legendre per n ≤ 5

L'equazione di Legendre si può risolvere con metodi standard delle serie di potenze. Si hanno soluzioni date da serie convergenti per $|x|<1$. Si hanno soluzioni convergenti anche per $x=\pm 1$ purché $n$ sia un intero non negativo. In tal caso le soluzioni al variare di $n$ formano una successione polinomiale detta successione dei polinomi di Legendre.

Il polinomio di Legendre $P_n(x)$ ha grado $n$ e può essere espresso mediante la formula di Rodrigues:

$P_n(x)=(2^{n}n!{)}^{-1}\frac{{\mathrm{d}}^n}{\mathrm{d}{x}^n}[(x^2-1{)}^n].$

I polinomi di Legendre sono polinomi ortogonali nell'intervallo $-1\le x\le 1$ rispetto al prodotto interno L²:

$\underset{-1}{\overset{1}{\int }}{P}_m(x)P_n(x)\mathrm{d}x=\frac{2}{2n+1}{\delta }_{mn}.$

Qui ${\delta }_{mn}$ denota la delta di Kronecker, uguale a $1$ se $m=n$ e uguale a $0$ in caso contrario.

Una costruzione alternativa dei polinomi di Legendre consiste nell'effettuare il procedimento di Gram-Schmidt per la ortogonalizzazione della successione polinomiale $\{1,x,x^2,\dots \}$ e poi moltiplicare i nuovi polinomi ottenuti per $\frac{(2n)!}{2^n(n!{)}^2}$ con $n=0,1,\dots$ che indica l'$n$-esimo polinomio di Legendre.

Questi sono i primi polinomi di Legendre:

$\begin{array}{cc}{P}_0(x)& =1;\\ P_1(x)& =x;\\ P_2(x)& =\frac{1}{2}(3x^2-1);\\ P_3(x)& =\frac{1}{2}(5x^3-3x);\\ P_4(x)& =\frac{1}{8}(35x^4-30x^2+3);\\ P_5(x)& =\frac{1}{8}(63x^5-70x^3+15x);\\ P_6(x)& =\frac{1}{16}(231x^6-315x^4+105x^2-5).\end{array}$

Bibliografia

• Template:Cita libro (V. cap. 8 e cap. 22.)
• Template:En Byerly, William Elwood (1893) An elementary treatise on Fourier's series and spherical, cylindrical, and ellipsoidal harmonics with applications to problems in mathematical physics (cap. I e cap. V)
• Template:En Todhunter, Isaac (1875) An elementary treatise on Laplace's functions, Lamé's functions and Bessel's functions, MacMillan (v. pp. 7-117)
• Template:De Heine, Eduard (1878) Handbuch der Kugelfunctionen, Theorie und Anwendungen (primera parte), Reimer
• Template:De Heine, Eduard (1881) Handbuch der Kugelfunctionen Theorie und Anwendungen (seconda parte), Reimer

Voci correlate

• Polinomi ortogonali
• Funzioni associate di Legendre

Collegamenti esterni

• Template:Collegamenti esterni
• http://www.octave.org I polinomi di Legendre, come i polinomi associati, possono essere calcolati numericamente mediante funzione legendre del programma GNU Octave (distribuito con la licenza GPL nel modulo contribuito octave-forge/specfun di octave v. 2.1.35 o successive
• https://www.gnu.org/software/gsl/gsl.html