Base duale

In matematica, e più precisamente in algebra lineare, la base duale è una particolare base costruita a partire da una base data. Il concetto di base duale è utile nello studio dello spazio duale e dei tensori.

Definizione

Dato uno spazio vettoriale $V$ su campo $K$ di dimensione finita $n$, lo spazio duale $V^{*}$ è l'insieme di tutte le applicazioni lineari da $V$ in $K$.

Fissata per $V$ una base $({\mathbf{\text{<mi fromhbox="1">e</mi>}}}_1,\dots ,{\mathbf{\text{<mi fromhbox="1">e</mi>}}}_n)$, la base duale $({\mathbf{\text{<mi fromhbox="1">e</mi>}}}^1,\dots ,{\mathbf{\text{<mi fromhbox="1">e</mi>}}}^n)$ è una base di $V^{*}$ univocamente determinata dalle seguenti relazioni:

${\mathbf{\text{<mi fromhbox="1">e</mi>}}}^i({\mathbf{\text{<mi fromhbox="1">e</mi>}}}_j)={\delta }_{ij},$

dove ${\delta }_{ij}$ è la delta di Kronecker.

Proprietà della base duale

Effetto su un vettore

Ogni vettore $\mathbf{\text{<mi fromhbox="1">v</mi>}}$ di $V$ può essere espresso in modo univoco come combinazione lineare degli elementi della base:

$\mathbf{\text{<mi fromhbox="1">v</mi>}}=\sum _{i=1}^n{v}^i{\mathbf{\text{<mi fromhbox="1">e</mi>}}}_i=v^i{\mathbf{\text{<mi fromhbox="1">e</mi>}}}_i,$

dove l'ultima notazione è quella cosiddetta di Einstein.

Il risultato dell'applicazione di ${\mathbf{\text{<mi fromhbox="1">e</mi>}}}^i$ su $\mathbf{\text{<mi fromhbox="1">v</mi>}}$ è il seguente:

${\mathbf{\text{<mi fromhbox="1">e</mi>}}}^i(\mathbf{\text{<mi fromhbox="1">v</mi>}})={\mathbf{\text{<mi fromhbox="1">e</mi>}}}^i\left(\sum _{k=1}^n{v}^k{\mathbf{\text{<mi fromhbox="1">e</mi>}}}_k\right)=\sum _{k=1}^n{v}^k{\delta }_{ik}=v^i.$

Quindi ${\mathbf{\text{<mi fromhbox="1">e</mi>}}}^i$ è l'applicazione che "estrae" da un vettore $\mathbf{\text{<mi fromhbox="1">v</mi>}}$ la $i$-ma componente $v^i$ delle sue coordinate rispetto alla base. Tale applicazione è a volte chiamata proiettore: può infatti essere interpretata come una proiezione sulla retta generata da ${\mathbf{\text{<mi fromhbox="1">e</mi>}}}_i$.

Coordinate rispetto alla base duale

Sia $f$ un generico elemento di $V^{*}$, cioè una applicazione lineare $f$ da $V$ a $K$. Applicata su un vettore

$\mathbf{\text{<mi fromhbox="1">v</mi>}}=\sum _{i=1}^n{v}^i{\mathbf{\text{<mi fromhbox="1">e</mi>}}}_i=v^i{\mathbf{\text{<mi fromhbox="1">e</mi>}}}_i$

produce la relazione:

$f(\mathbf{\text{<mi fromhbox="1">v</mi>}})=\sum _{i=1}^n{v}^{i}f({\mathbf{\text{<mi fromhbox="1">e</mi>}}}_i)=v^{i}f({\mathbf{\text{<mi fromhbox="1">e</mi>}}}_i).$

L'applicazione $f$ è quindi univocamente definita da come agisce sugli elementi della base di $V$. D'altra parte la $f$ trasforma un vettore in un elemento del campo $K$, per cui la $f$ è definita dagli $n$ "numeri":

$f_i=f({\mathbf{\text{<mi fromhbox="1">e</mi>}}}_i).$

Di conseguenza, la $f$ è ottenuta come combinazione lineare degli ${\mathbf{\text{<mi fromhbox="1">e</mi>}}}^i$:

$f=\sum _{i=1}^n{f}_i{\mathbf{\text{<mi fromhbox="1">e</mi>}}}^i=f_i{\mathbf{\text{<mi fromhbox="1">e</mi>}}}^i.$

Infatti vale la relazione:

$f(\mathbf{\text{<mi fromhbox="1">v</mi>}})=\sum _{i=1}^n{f}_i{\mathbf{\text{<mi fromhbox="1">e</mi>}}}^i(\mathbf{\text{<mi fromhbox="1">v</mi>}})=\sum _{i=1}^n{f}_i{v}^i=f_i{v}^i.$

Ogni applicazione $f$ in $V^{*}$ può essere quindi espressa in modo univoco come combinazione lineare delle applicazioni ${\mathbf{\text{<mi fromhbox="1">e</mi>}}}^i$, e pertanto:

• $({\mathbf{\text{<mi fromhbox="1">e</mi>}}}^1,\dots ,{\mathbf{\text{<mi fromhbox="1">e</mi>}}}^n)$ è effettivamente una base di $V^{*}$, che ha quindi dimensione $n$;
• le $f_i$ sono le coordinate di $f$ rispetto a tale base.

Dualità delle basi e degli spazi

Dualità delle basi

Le basi di $V$ e $V^{*}$ presentano la seguente simmetria:

• applicando ${\mathbf{\text{<mi fromhbox="1">e</mi>}}}^i$ a un vettore $\mathbf{\text{<mi fromhbox="1">v</mi>}}$ si ottiene la i-esima componente di $\mathbf{\text{<mi fromhbox="1">v</mi>}}$ rispetto alla base $({\mathbf{\text{<mi fromhbox="1">e</mi>}}}_1,\dots ,{\mathbf{\text{<mi fromhbox="1">e</mi>}}}_n)$ di $V$:

${\mathbf{\text{<mi fromhbox="1">e</mi>}}}^i(\mathbf{\text{<mi fromhbox="1">v</mi>}})=v^i;$

• applicando una applicazione $f$ a ${\mathbf{\text{<mi fromhbox="1">e</mi>}}}_i$ si ottiene la i-esima componente di $f$ rispetto alla base $({\mathbf{\text{<mi fromhbox="1">e</mi>}}}^1,\dots ,{\mathbf{\text{<mi fromhbox="1">e</mi>}}}^n)$ di $V^{*}$:

$f({\mathbf{\text{<mi fromhbox="1">e</mi>}}}_i)=f_i.$

Le due relazioni esprimono una "dualità" delle due basi.

Dualità degli spazi

Un altro modo per esprimere questa dualità si ottiene considerando lo spazio duale di $V^{*}$, detto anche spazio biduale di $V$, che si indica con $V^{**}$ ed è costituito dall'insieme di tutte le applicazioni lineari su $V^{*}$. Poiché $V^{*}$, come si è visto, è uno spazio vettoriale di dimensione $n$, anche $V^{**}$ lo è.

Ora risulta cruciale osservare che ogni elemento di $V^{**}$ resta "naturalmente" associato ad un vettore di $V$. Infatti, è possibile associare ad un vettore $\mathbf{\text{<mi fromhbox="1">v</mi>}}$ di $V$ l'applicazione $F_v$ di $V^{**}$ che agendo sull'applicazione $f$ produce lo stesso scalare che produce $f$ agendo su $\mathbf{\text{<mi fromhbox="1">v</mi>}}$:

$F_v(f)=f(\overline{\mathbf{\text{<mi fromhbox="1">v</mi>}}}).$

L'applicazione da $V$ in $V^{**}$ definita da

$\mathbf{\text{<mi fromhbox="1">v</mi>}}\mapsto F_v$

è un isomorfismo canonico, che non dipende cioè dalla scelta delle basi. Gli spazi $V$ e $V^{**}$ sono quindi naturalmente identificati. Analogamente, gli spazi $V^{*}$ e $V^{***}$ sono naturalmente identificati.

Questa dualità fra spazi riflette quella fra le basi: la base duale di $({\mathbf{\text{<mi fromhbox="1">e</mi>}}}^1,\dots ,{\mathbf{\text{<mi fromhbox="1">e</mi>}}}^n)$ è effettivamente $(F_{e_1},\dots ,F_{e_n})$. Infatti:

$F_{e_i}(f)=f({\mathbf{\text{<mi fromhbox="1">e</mi>}}}_i)=f_i.$

Applicazioni bilineari

La dualità può essere espressa in modo più evidente interpretando l'applicazione di un funzionale $f$ ad un vettore $\mathbf{\text{<mi fromhbox="1">v</mi>}}$ - che fino ad ora abbiamo scritto come $f(\mathbf{\text{<mi fromhbox="1">v</mi>}})$ mettendo in evidenza che $f$ è una applicazione da $V$ a $K$ - come una applicazione bilineare da $V^{*}\times V$ a $K$, definita nel modo seguente:

$⟨,⟩:V^{*}\times V\to K$

$⟨f,\mathbf{\text{<mi fromhbox="1">v</mi>}}⟩=f(\mathbf{\text{<mi fromhbox="1">v</mi>}})=F_v(f).$

L'applicazione bilineare associa ad ogni coppia di elementi di $V^{*}$ e di $V$ uno scalare. L'operazione $⟨f,\mathbf{\text{<mi fromhbox="1">v</mi>}}⟩$ può essere intesa in duplice senso: come una applicazione $f$ che agisce su un vettore $\mathbf{\text{<mi fromhbox="1">v</mi>}}$ o come un vettore $\mathbf{\text{<mi fromhbox="1">v</mi>}}$ (anzi, $F_v$) che agisce su una applicazione $f$.

Così facendo le dualità degli spazi e delle basi possono essere espresse in forma "simmetrica" e sintetica nel modo seguente:

$⟨{\mathbf{\text{<mi fromhbox="1">e</mi>}}}^i,\mathbf{\text{<mi fromhbox="1">v</mi>}}⟩=v^i,⟨f,{\mathbf{\text{<mi fromhbox="1">e</mi>}}}_i⟩=f_i.$

In particolare se tali relazioni si applicano agli elementi delle due basi, si ottiene la relazione originaria:

$⟨{\mathbf{\text{<mi fromhbox="1">e</mi>}}}^i,{\mathbf{\text{<mi fromhbox="1">e</mi>}}}_j⟩={\delta }_{ij}.$

Identificazione di V e V^*

In matematica, un isomorfismo è naturale se la sua costruzione è univoca, non dipende cioè da nessuna scelta. Come visto sopra, esiste un isomorfismo naturale fra $V$ e $V^{**}$. Invece in generale non esiste un modo altrettanto naturale di associare gli elementi di $V$ a quelli di $V^{*}$. Trattandosi di spazi aventi le stesse dimensioni, esiste (per il teorema della dimensione) un isomorfismo fra questi: tuttavia questo isomorfismo, per essere determinato concretamente, dovrà fare riferimento a qualche scelta determinante. La scelta può consistere nella costruzione di una base o di un prodotto scalare per $V$.

Isomorfismo tramite scelta di base

Un isomorfismo tra $V$ e $V^{*}$ può essere costruito a partire da una base $({\mathbf{\text{<mi fromhbox="1">e</mi>}}}_1,\dots ,{\mathbf{\text{<mi fromhbox="1">e</mi>}}}_n)$ per $V$. Questa determina una base duale ${\mathbf{\text{<mi fromhbox="1">e</mi>}}}^1,\dots ,{\mathbf{\text{<mi fromhbox="1">e</mi>}}}^n$, e l'isomorfismo fra $V$ e $V^{*}$ associa al vettore $\mathbf{\text{<mi fromhbox="1">v</mi>}}$ avente componenti $v^i$ l'applicazione $f$ avente uguali componenti $f_i=v^i$ rispetto a ${\mathbf{\text{<mi fromhbox="1">e</mi>}}}^i$.

Prendendo un'altra base di partenza, l'applicazione associata a $\mathbf{\text{<mi fromhbox="1">v</mi>}}$ non è però più necessariamente la stessa $f$: in questo senso, l'isomorfismo non è naturale.

Isomorfismo tramite prodotto scalare

È possibile definire un isomorfismo tra $V$ e $V^{*}$ a partire da un prodotto scalare per $V$, cioè una particolare applicazione bilineare:

$⟨,⟩:V\times V\to K$

$⟨,⟩:(\mathbf{\text{<mi fromhbox="1">w</mi>}},\mathbf{\text{<mi fromhbox="1">v</mi>}})\to ⟨\mathbf{\text{<mi fromhbox="1">w</mi>}},\mathbf{\text{<mi fromhbox="1">v</mi>}}⟩.$

Grazie a questo prodotto scalare è possibile associare ad un vettore $\mathbf{\text{<mi fromhbox="1">w</mi>}}$ di $V$ l'applicazione $f_w$ tale che:

$⟨f_w,\mathbf{\text{<mi fromhbox="1">v</mi>}}⟩=⟨\mathbf{\text{<mi fromhbox="1">w</mi>}},\mathbf{\text{<mi fromhbox="1">v</mi>}}⟩.$

In questa relazione, l'applicazione bilineare di sinistra è quella naturale definita precedentemente, mentre quella di destra è il prodotto scalare su $V$. Qualora si identifichi $V$ e $V^{*}$ in questo modo, anche queste due applicazioni bilineari risultano essere identificate.

Anche in questo caso, l'isomorfismo non è naturale, perché dipende dalla scelta di un prodotto scalare per $V$.

Esempi

La base standard di ${ℝ}^2$ (il piano cartesiano) è:

$\{{𝐞}_1,{𝐞}_2\}=\{\left(\begin{array}{c}1\\ 0\end{array}\right),\left(\begin{array}{c}0\\ 1\end{array}\right)\}$

mentre la base standard del suo duale ${{ℝ}^2}^{*}$ è:

$\{{𝐞}^1,{𝐞}^2\}=\{\left(\begin{array}{cc}1& 0\end{array}\right),\left(\begin{array}{cc}0& 1\end{array}\right)\}.$

In tre dimensioni, per una data base $\{{𝐞}_1,{𝐞}_2,{𝐞}_3\}$ si può trovare la base duale (o biortogonale) $\{{𝐞}^1,{𝐞}^2,{𝐞}^3\}$ con le formule:

${𝐞}^1={\left(\frac{{𝐞}_2\times {𝐞}_3}{V}\right)}^T,{𝐞}^2={\left(\frac{{𝐞}_3\times {𝐞}_1}{V}\right)}^T,{𝐞}^3={\left(\frac{{𝐞}_1\times {𝐞}_2}{V}\right)}^T,$

dove l'apice $T$ indica la trasposta e

$V=\det ({𝐞}_1;{𝐞}_2;{𝐞}_3)={𝐞}_1\cdot ({𝐞}_2\times {𝐞}_3)={𝐞}_2\cdot ({𝐞}_3\times {𝐞}_1)={𝐞}_3\cdot ({𝐞}_1\times {𝐞}_2)$

è il volume orientato del parallelepipedo formato dai vettori ${𝐞}_1$, ${𝐞}_2$ e ${𝐞}_3$.

Bibliografia

• Template:En P.M. Cohn, Algebra, Wiley (1982)
• Template:En Lebedev, Leonid P.; Cloud, Michael J.; Eremeyev, Victor A. (2010). Tensor Analysis With Applications to Mechanics. World Scientific. ISBN 978-981431312-4

Voci correlate

• Base (algebra lineare)
• Covarianza e controvarianza
• Prodotto scalare
• Spazio duale
• Spazio riflessivo
• Spazio vettoriale
• Spazio euclideo
• Tensore

Collegamenti esterni

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