Simmetria centrale

Template:F Template:S In matematica, e più precisamente in geometria, una simmetria centrale è una trasformazione (della retta, del piano o dello spazio) che scambia tra di loro gli estremi di ogni segmento il quale abbia, come punto medio, un punto fissato (della retta, del piano o dello spazio), detto centro di simmetria. La simmetria centrale coincide con la rotazione di 180° rispetto al centro di simmetria.

Geometria euclidea piana

Nel piano euclideo, due punti $A$ e $A^{\prime }$ si dicono simmetrici rispetto a un punto $O$ quando $O$ è il punto medio del segmento $A{A}^{\prime }.$ Il punto $A^{\prime }$ si dice il simmetrico di $A$ rispetto a $O$ e viceversa.

La corrispondenza biunivoca che associa ad ogni punto $A$ il punto $A^{\prime }$ suo simmetrico, e viceversa, si dice simmetria centrale di centro $O.$

La simmetria centrale è un'isometria del piano, cioè conserva la lunghezza dei segmenti.

Alcuni autori utilizzano la notazione ${\sigma }_O$ per indicare la simmetria centrale di centro $O;$ il simmetrico di $A$ si scrive $A^{\prime }={\sigma }_O(A)$.

La simmetria centrale è involutoria, cioè coincide con la propria inversa e composta con sé stessa dà l'identità.

Infine, la simmetria centrale è un'isometria di tipo diretto, cioè mantiene l'orientazione degli oggetti; ad esempio, una coppia di assi ortogonali, il verso di percorrenza dei lati di un triangolo, ecc.

La simmetria centrale in coordinate cartesiane

Nel piano cartesiano ${ℝ}^2$, la simmetria centrale di centro $O(x_0,y_0)$ è una corrispondenza biunivoca

$(x,y)\mapsto (x^{\prime },y^{\prime })$

definita nel modo seguente:

$\{\begin{array}{c}{x}^{\prime }=-x+2x_0\\ y^{\prime }=-y+2y_0.\end{array}$

L'espressione si estende in dimensione più alta. Nello spazio euclideo $n$-dimensionale ${ℝ}^n$, la simmetria di centro $O(x_{01},x_{02},\dots ,x_{0n})$ è descritta come

$\begin{array}{cc}{\sigma }_O:{ℝ}^n& \to {ℝ}^n\\ (x_1,x_2,\dots ,x_n)& \mapsto ({x_1}^{\prime },{x_2}^{\prime },\dots ,{x_n}^{\prime }),\end{array}$

dove

${x_k}^{\prime }=-x_k+2x_{0k},k=1,2,\dots ,n.$

Figure simmetriche

Esempi di figure geometriche con simmetria centrale sono alcuni poligoni circoscrivibili, come il quadrato.

Collegamenti esterni

• Template:Collegamenti esterni