Forza centrale

In meccanica classica, una forza centrale è una forza diretta lungo la congiungente del punto di applicazione e un punto fisso, detto centro della forza, e tale che in ogni momento il modulo sia funzione esclusivamente del raggio vettore tra il punto di applicazione della forza e il centro.

Per convenzione, il verso della forza si intende verso l'esterno rispetto al centro di forza. Per tale motivo, se la forza è uscente dal centro di forza essa è detta repulsiva, al contrario, se è entrante allora essa è detta attrattiva:

$𝐅=F(𝐫)\widehat{𝐫}$

Le forze centrali sono dette a simmetria sferica se il modulo della forza dipende unicamente dalla distanza tra il punto di applicazione e il centro O e non dall'orientazione del raggio vettore che congiunge i due punti:

$𝐅=F(r)\widehat{𝐫}$

Esempi di forze centrali sono:

• la forza gravitazionale, proporzionale a 1/r², di verso opposto al vettore posizione (forza attrattiva);
• la forza elettrostatica, proporzionale a 1/r²; il segno delle cariche elettriche interagenti determina se è attrattiva o repulsiva;
• la forza elastica, nel caso di una molla ancorata nell'origine del sistema di riferimento, proporzionale a r, di verso opposto al vettore posizione (forza attrattiva).

Momento meccanico

In un campo di forze centrali, il momento meccanico rispetto al polo O è ovunque nullo:

$𝐌=𝐫\times 𝐅=rF\sin 0=0.$

A causa di ciò si conserva il momento angolare:

$𝐌=\frac{\mathrm{d}𝐋}{\mathrm{d}t}=0.$

Per un punto materiale il momento angolare è definito come $𝐋=𝐫\times m𝐯$; siccome $𝐋$ è perpendicolare al piano in cui giace la traiettoria (individuato da $𝐫$ e $𝐯$) ed è costante, segue che l'intera orbita giace su un piano costante, ovvero che il moto avviene su un piano.

Inoltre ciò comporta che la velocità areolare è costante

Conservatività

Le forze centrali sono anche forze conservative. Questo si può mostrare verificando esplicitamente che il lavoro non dipenda dalla curva su cui è stato calcolato. Consideriamo una forza $𝐅$ centrale e un qualsiasi percorso $\gamma$ di estremi A e B. Poiché per ipotesi:

$𝐅=F(r)\widehat{𝐫}$

dove $\widehat{𝐫}$ è il versore relativo al vettore posizione, si ha:

${ℒ}_{AB}=\underset{A}{\overset{B}{\int }}F(r)\widehat{𝐫}\cdot \mathrm{d}𝐬$

Siccome in coordinate polari il vettore spostamento elementare è $\mathrm{d}𝐬=\mathrm{d}𝐫=\mathrm{d}r\widehat{𝐫}+r\mathrm{d}\vartheta \hat{\mathit{\vartheta }}$, abbiamo:

${ℒ}_{AB}=\underset{r_A}{\overset{r_B}{\int }}F(r)\mathrm{d}r$

Quindi il lavoro compiuto dalla forza dipende solo dalle distanze di partenza e di arrivo del punto di applicazione. Se la f è integrabile abbiamo esplicitamente una funzione potenziale ed un'energia potenziale associate. L'energia potenziale è

$U(r)=-\underset{r_0}{\overset{r}{\int }}F(r)\mathrm{d}r$

con $r_0$ posto arbitrariamente uguale a $+\mathrm{\infty }$ per forze nulle all'infinito.

In quanto conservativi, per i campi a forze centrali vale la seguente relazione: $𝐅(\widehat{𝐫})=-\mathrm{\nabla }U(\widehat{𝐫})$. Preso il generico campo di forze centrali

$𝐅(r)=-\frac{k}{r^2}{𝐮}_r$,

con ${𝐮}_r$versore di direzione radiale e $k\in ℝ$, si definisce la funzione di energia potenziale:

$U(r)=-\frac{k}{r}r=\sqrt{x^2+y^2+z^2}$.

Dunque, calcoliamo

$\{\begin{array}{c}\frac{\partial U}{\partial x}=-k\frac{\partial }{\partial x}\left(\frac{1}{\sqrt{x^2+y^2+z^2}}\right)=-k[-\frac{1}{2}\frac{2x}{\sqrt[2]{(x^2+y^2+z^2{)}^3}}]=k\frac{x}{r^3}\\ \frac{\partial U}{\partial y}=-k\frac{\partial }{\partial y}\left(\frac{1}{\sqrt{x^2+y^2+z^2}}\right)=-k[-\frac{1}{2}\frac{2y}{\sqrt[2]{(x^2+y^2+z^2{)}^3}}]=k\frac{y}{r^3}\\ \frac{\partial U}{\partial z}=-k\frac{\partial }{\partial z}\left(\frac{1}{\sqrt{x^2+y^2+z^2}}\right)=-k[-\frac{1}{2}\frac{2z}{\sqrt[2]{(x^2+y^2+z^2{)}^3}}]=k\frac{z}{r^3}\end{array}$

Dal sistema segue che

$\mathrm{\nabla }U(\widehat{𝐫})=(k\frac{x}{r^3},k\frac{y}{r^3},k\frac{z}{r^3})⟹-\mathrm{\nabla }U(\widehat{𝐫})=(-k\frac{x}{r^3},-k\frac{y}{r^3},-k\frac{z}{r^3})=-k\frac{x}{r^3}\hat{ı}-k\frac{y}{r^3}\hat{ȷ}-k\frac{z}{r^3}\hat{k}$

Essendo $\widehat{𝐫}=x\hat{ı}+y\hat{ȷ}+z\hat{k}$, si ha:

$-\mathrm{\nabla }U(𝐫)=-\frac{k}{r^2}{𝐮}_r$

Si può anche mostrare che una forza centrale è irrotazionale: si può verificare che il rotore di una forza centrale è nullo ovunque (è necessario che f(r) sia una funzione continua e derivabile nel suo dominio di definizione):

$\mathrm{\nabla }\times 𝐅=\left|\begin{array}{ccc}{𝐞}_r& {𝐞}_{\theta }& {𝐞}_{\varphi }\\ \frac{\partial }{\partial r}& \frac{1}{r}\frac{\partial }{\partial \theta }& \frac{1}{r\sin \theta }\frac{\partial }{\partial \varphi }\\ F(r)& 0& 0\end{array}\right|=0$

L'irrotazionalità del campo è necessaria per la sua conservatività ma non basta: la funzione deve essere definita su un dominio semplicemente connesso (per esempio le forze gravitazionale e di Coulomb).

Voci correlate

• Forza gravitazionale
• Forza di Coulomb
• Lemma di Poincaré
• Moto in un campo centrale