Teorema di Ascoli-Arzelà

In analisi matematica, il teorema di Ascoli-Arzelà fornisce una condizione sufficiente affinché una successione di funzioni continue limitate ammetta una sottosuccessione convergente, nella norma del massimo. Si tratta della norma che rende $C([a,b])$, lo spazio delle funzioni continue sull'intervallo $[a,b]$, uno spazio completo, ovvero uno spazio di Banach. Il risultato del teorema non è banale dato che, come si può dimostrare, la compattezza equivale alla chiusura e limitatezza solo in spazi finito dimensionali (si veda il teorema di Heine-Borel).

Il teorema è di fondamentale importanza in analisi funzionale. Prende il nome dai matematici italiani Giulio Ascoli e Cesare Arzelà.

Il teorema

Una successione di funzioni continue $\{f_n{\}}_{n\in N}$ definite su un intervallo $[a,b]\subset ℝ$ è detta uniformemente limitata se esiste un numero $M>0$ tale che:

$|f_n(x)|\le M$

per ogni funzione $f_n$ della successione e per ogni $x\in [a,b]$. Una tale successione è uniformemente equicontinua se per ogni $\epsilon >0$ esiste $\delta >0$ tale che:

$|f_n(t)-f_n(\tau )|<\epsilon \text{se}|t-\tau |<\delta$

per ogni funzione $f_n$ della successione. In modo equivalente, una successione è equicontinua se e solo se tutti i suoi elementi hanno il medesimo modulo di continuità.

Il teorema di Ascoli-Arzelà considera una successione $f_n$ di funzioni continue a valori reali definite su $[a,b]$. Se la successione è equicontinua e uniformemente limitata allora esiste una sottosuccessione $f_{n_k}$ convergente uniformemente.

Generalizzazione

Una versione più generale del teorema considera gli spazi metrici. Come definizione preliminare, un insieme è relativamente compatto se la sua chiusura è compatta. Siano $X,Y$ spazi metrici, $X$ compatto ed $E$ un sottoinsieme di $C(X,Y)$. Se $E$ è equicontinuo e l'insieme $E(t)=\{f(t):f\in E\}$ è relativamente compatto per ogni $t$ in $X$, allora $E$ è relativamente compatto.

Dimostrazione

Si consideri un ordinamento dei numeri razionali dell'intervallo $[a,b]$ ed una successione $f_n$. Allora essa è limitata sul primo razionale $q_1$, ma poiché $[-M,M]$ è un compatto (dove $M$ è la costante di uniforme limitatezza), essa ammetterà una sottosuccessione convergente su $q_1$, che indichiamo con $f_{1,n}$. La sottosuccessione $f_{1,n}$ è limitata sul secondo razionale $q_2$ e ammette dunque una sotto-sottosuccessione convergente su $q_2$, indicata con $f_{2,n}$. Questa a sua volta sarà limitata su $q_3$, e così via. Procedendo in questo modo si costruisce una successione di sottosuccessioni $f_{m,n}$ tali che $f_{m,n}$ converge per ogni $q_i$, con $i$ minore o uguale a $m$. A questo punto è possibile costruire una sottosuccessione estraendo la diagonale delle $f_{m,n}$, cioè prendendo la successione $f_{n,n}$ che converge su ogni razionale contenuto in $[a,b]$.

Si vuole dimostrare che la successione $f_{n,n}$ è di Cauchy su $[a,b]$, poiché la completezza dello spazio consente di concludere ciò. Si fissi dunque $\epsilon$ e si ricavi dall'equicontinuità il $\delta$ corrispondente. Ricoprendo quindi $[a,b]$ con $N$ intervallini $I_n$, tutti di ampiezza minore di $\delta$, ogni $t$ dell'intervallo $[a,b]$ appartiene a un $I_n$. Quindi si ha:

$|f_{n,n}(t)-f_{m,m}(t)|<|f_{n,n}(t)-f_{n,n}(q_i)|+|f_{n,n}(q_i)-f_{m,m}(q_i)|+|f_{m,m}(q_i)-f_{m,m}(t)|$

Il primo e il terzo termine al secondo membro sono minori di $\epsilon$, basti scegliere $q_i$ in $I_j$ ($I_j$ tale che $t\in I_j$), in virtù dell'equi-uniforme-continuità delle $f_n$. Il termine centrale al secondo membro è invece minore di $\epsilon$ per $m,n$ sufficientemente grandi, poiché $f_{n,n}$ converge su tutti i razionali. $f_{n,n}$ converge puntualmente ad una $f(x)$, la successione $f_{n,n}$ è equiuniformemente continua in $[a,b]$, quindi $f_{n,n}$ converge uniformemente ad $f(x)$ in $[a,b]$, quindi in particolare $f(x)$ è continua in $[a,b]$.

Bibliografia

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Voci correlate

• Equicontinuità
• Funzione continua
• Funzione limitata
• Limite di una successione
• Norma uniforme
• Sottospazio relativamente compatto
• Spazio completo
• Successione di funzioni
• Teorema di Heine-Borel

Collegamenti esterni

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