Teorema del confronto

Grafico della funzione $x^2\sin \left(x^{-1}\right)$, che illustra il teorema

Il teorema del confronto è un teorema di analisi matematica. Assume forme diverse a seconda del contesto, e permette di calcolare il limite di una successione o funzione confrontando questa con altri due oggetti analoghi che "si stringono sempre di più" intorno a quello dato.

È informalmente chiamato teorema dei due carabinieri, per un'allegoria: il teorema sarebbe rappresentato da due carabinieri (due funzioni o successioni $a,c$ che si stringono sempre di più) che conducono in arresto un prigioniero (una funzione o successione $b$): questo "tende" sicuramente allo stesso punto dove tendono i carabinieri (il limite comune di $a$ e $c$). Sulla base di considerazioni simili, il teorema è talvolta detto anche teorema del sandwich o teorema di compressione.

Successioni

Il teorema del confronto per le successioni asserisce che se $\{a_n\},\{b_n\}$ e $\{c_n\}$ sono tre successioni di numeri reali tali che definitivamente (cioè per $n$ sufficientemente grande)

$a_n\le b_n\le c_n$

e se si ha

$\underset{n\to +\mathrm{\infty }}{\lim }{a}_n=\underset{n\to +\mathrm{\infty }}{\lim }{c}_n=l,$

allora anche

$\underset{n\to +\mathrm{\infty }}{\lim }{b}_n=l.$

Dimostrazione

Dalla definizione di limite di una successione, si ricava che per ogni $\epsilon >0$ esistono $N,N^{\prime }$ tali che:

$l-\epsilon <a_n<l+\epsilon ,\mathrm{\forall }n>N,$

$l-\epsilon <c_n<l+\epsilon ,\mathrm{\forall }n>N^{\prime }.$

Quindi per ogni $n$ maggiore di $M=\max \{N,N^{\prime }\}$ si ottiene:

$l-\epsilon <a_n\le b_n\le c_n<l+\epsilon .$

Quindi per ogni $\epsilon >0$ esiste un $M$ tale che:

$l-\epsilon <b_n<l+\epsilon ,\mathrm{\forall }n>M.$

In altre parole, la successione $b_n$ tende a $l$.

Esempi

La successione:

$b_n=\frac{\sin n\cos n}{n^2}$

è "stretta" fra le successioni:

$a_n=-\frac{1}{n^2},c_n=\frac{1}{n^2}$

poiché

$-1\le \sin n\cos n\le 1$

implica

$-\frac{1}{n^2}\le \frac{\sin n\cos n}{n^2}\le \frac{1}{n^2},$

per ogni $n$. Entrambe $a_n$ e $c_n$ sono infinitesime (convergono cioè a zero), e quindi per il teorema del confronto anche $b_n$ è infinitesima.

Corollario

Teoremi di confronto si possono applicare anche per i limiti infiniti. Se $\{a_n\},\{b_n\}$ sono due successioni tali che:

$a_n\le b_n$

per ogni $n$, e se

$\underset{n\to +\mathrm{\infty }}{\lim }{a}_n=+\mathrm{\infty },$

allora anche

$\underset{n\to +\mathrm{\infty }}{\lim }{b}_n=+\mathrm{\infty }.$

Oppure se

$a_n\le b_n,$

per ogni $n$, e se

$\underset{n\to +\mathrm{\infty }}{\lim }{b}_n=-\mathrm{\infty },$

allora anche

$\underset{n\to +\mathrm{\infty }}{\lim }{a}_n=-\mathrm{\infty }.$

Dimostrazione Corollario

Per ipotesi $\underset{n\to +\mathrm{\infty }}{\lim }{a}_n=+\mathrm{\infty }$ e pertanto, dalla definizione di limite di una successione, per ogni $M>0$ esiste un numero naturale $N$ tale che $a_n>M$ per ogni $n>N$.

Dato che $b_n\ge a_n$ per ogni $n$ si ottiene che:

$b_n\ge a_n>M.$

Quindi:

$\underset{n\to +\mathrm{\infty }}{\lim }{b}_n=+\mathrm{\infty }.$

Funzioni

Il teorema del confronto per le funzioni asserisce che, date tre funzioni $f,g,h:X\to ℝ$ definite su un dominio $X$ di $ℝ$, e dato un punto di accumulazione $x_0$ per $X$, se:

$\underset{x\to x_0}{\lim }f(x)=\underset{x\to x_0}{\lim }h(x)=l$

ed esiste un intorno $U$ di $x_0$ tale che

$f(x)\le g(x)\le h(x),\mathrm{\forall }x\in U\cap X\mathrm{\setminus }\left\{x_0\right\},$

allora

$\underset{x\to x_0}{\lim }g(x)=l.$

Dimostrazione

Per la definizione di limite, per ogni $\epsilon >0$ esistono due intorni $U_1$ e $U_2$ di $x_0$ tali che:

$l-\epsilon <f(x)<l+\epsilon \mathrm{\forall }x\in U_1\setminus \{x_0\},$

$l-\epsilon <h(x)<l+\epsilon \mathrm{\forall }x\in U_2\setminus \{x_0\}.$

Quindi

$l-\epsilon <f(x)⩽g(x)⩽h(x)<l+\epsilon ,\mathrm{\forall }x\in U_1\cap U_2\cap U\setminus \{x_0\}.$

Quindi per ogni $\epsilon >0$ esiste un intorno $U_1\cap U_2\cap U$ tale che

$l-\epsilon <g(x)<l+\epsilon ,\mathrm{\forall }x\in U_1\cap U_2\cap U\setminus \{x_0\}.$

In altre parole:

$\underset{x\to x_0}{\lim }g(x)=l.$

Esempio

Dimostrazione geometrica del limite con il teorema del confronto

Un'applicazione importante di questo teorema è la verifica del limite:

$\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\sin x}{x}=1.$

Si prenda come riferimento l'immagine a destra. Sia $0<x<\pi /2$ la misura in radianti dell'arco di circonferenza di centro O e raggio unitario.

Allora

$\overline{PH}=\sin x,\overline{QA}=\tan x$

Ne segue che

$\sin x<x<\tan x,$

da cui, dividendo per $\sin x$

$1<\frac{x}{\sin x}<\frac{1}{\cos x}$

prendendo i reciproci

$\cos x<\frac{\sin x}{x}<1$

sapendo che la disuguaglianza non cambia per $-x$ e che

$\underset{x\to 0}{\lim }\cos x=1,$

sfruttando il teorema del confronto si ottiene:

$\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\sin x}{x}=1.$

Bibliografia

• G. C. Barozzi, Primo corso di analisi matematica, Bologna, Zanichelli, 1998. ISBN 88-080-1169-0.
• Template:En Stewart, James (2008). Multivariable Calculus (6th ed.). pp. 909–910. ISBN 0495011630.

Voci correlate

• Funzione (matematica)
• Limite di una successione
• Limite di una funzione
• Punto di accumulazione
• Successione (matematica)

Collegamenti esterni

• Template:Collegamenti esterni
• Template:En Squeeze Theorem by Bruce Atwood (Beloit College) after work by, Selwyn Hollis (Armstrong Atlantic State University), the Wolfram Demonstrations Project.