Forma sesquilineare

In matematica e fisica, una forma sesquilineare sopra uno spazio vettoriale complesso è una funzione che associa ad ogni coppia di vettori dello spazio un numero complesso e che è antilineare in un argomento e lineare nell'altro. In particolare, la convenzione utilizzata solitamente in matematica è che sia lineare nel primo argomento e antilineare nel secondo, mentre in fisica accade il contrario (lineare nel secondo argomento, antilineare nel primo), in accordo con la notazione bra-ket introdotta da Paul Dirac nel formalismo della meccanica quantistica.

Poiché un'applicazione antilineare è talora detta semilineare, il nome sesquilineare trae origine dal prefisso latino sesqui- che significa "uno e mezzo", in sintonia con il termine forma bilineare, funzione con due argomenti che è lineare in entrambi. Inoltre, vari autori che studiano implicitamente soltanto spazi vettoriali complessi usano per brevità il termine "bilineare" al posto di "sesquilineare".

Una forma sesquilineare simmetrica è detta forma hermitiana, ed è analoga a una forma bilineare simmetrica nel caso reale. Una forma hermitiana definita positiva è inoltre detta prodotto interno o prodotto hermitiano. Se si considera il campo reale tale prodotto è il prodotto scalare.

Definizione

Sia $V$ uno spazio vettoriale complesso. Una forma sesquilineare sul campo $ℂ$ è una mappa:

$\varphi :V\times V\to ℂ$

che associa ad ogni coppia di elementi $𝐯$ e $𝐰\in V$ lo scalare $\varphi (𝐯,𝐰)\in ℂ$.

Si tratta di un'applicazione lineare su una componente ed antilineare sull'altra, cioè:

• $\varphi (𝐱+𝐲,𝐳+𝐰)=\varphi (𝐱,𝐳)+\varphi (𝐱,𝐰)+\varphi (𝐲,𝐳)+\varphi (𝐲,𝐰)$
• $\varphi (a𝐱,𝐲)=a\varphi (𝐱,𝐲)$
• $\varphi (𝐱,a𝐲)=\overline{a}\varphi (𝐱,𝐲)$

con $a\in ℂ$ e $𝐱,𝐲,𝐳,𝐰\in 𝕍$.

In altre parole, per ogni $𝐳$ in $V$ fissato, le applicazioni

$𝐰\mapsto \varphi (𝐰,𝐳)𝐰\mapsto \varphi (𝐳,𝐰)$

sono rispettivamente lineare e antilineare.

Forma hermitiana

Template:Vedi anche Data una qualsiasi forma sesquilineare $\varphi$ su $V$, è sempre possibile associare una seconda forma sesquilineare ${\varphi }^{†}$ che si dice ottenuta per trasposizione coniugata:

${\varphi }^{†}(𝐰,𝐳)=\overline{\varphi (𝐳,𝐰)}$

e si ha:

$({\varphi }^{†}{)}^{†}=\varphi$

Una forma hermitiana è una forma sesquilineare $\varphi :V\times V\to ℂ$ tale che:

$\varphi (𝐰,𝐳)=\overline{\varphi (𝐳,𝐰)}$

La forma hermitiana standard sullo spazio ${ℂ}^n$ è definita nel modo seguente:

$\varphi (𝐰,𝐳)=\sum _{i=1}^n{\bar{z}}_i{w}_i$

Tali forme sono l'equivalente complesso delle forme bilineari simmetrica e antisimmetrica. Analogamente a quanto accade nel caso reale, ogni forma sesquilineare può essere scritta come somma di una hermitiana e di una antihermitiana:

$\varphi =\frac{1}{2}(\varphi +{\varphi }^{†})+\frac{1}{2}(\varphi -{\varphi }^{†})$

Prodotto interno

Template:Vedi anche Il prodotto interno, anche detto prodotto hermitiano, è una forma hermitiana definita positiva, cioè tale che:

$\varphi (0,0)=0\varphi (𝐳,𝐳)>0$

se $𝐳\ne 0$. Un prodotto hermitiano è sovente indicato con $⟨,⟩$, e uno spazio vettoriale complesso munito di prodotto hermitiano si dice spazio prehilbertiano.

Il prodotto interno è in generale definito sul campo complesso, e nel caso si consideri il campo reale tale prodotto è detto prodotto scalare.

Forma antihermitiana

Una forma antihermitiana è una forma sesquilineare $\epsilon :V\times V\to ℂ$ tale che:

$\epsilon (𝐰,𝐳)=-\overline{\epsilon (𝐳,𝐰)}$

ovvero:

$\epsilon =-{\epsilon }^{†}$

Ogni forma antihermitiana si può esprimere come:

$\epsilon =i\cdot \varphi$

dove i è l'unità immaginaria e $\varphi$ è una forma hermitiana.

Analogamente al caso precedente, in dimensione finita una forma antihermitiana è rappresentabile tramite una matrice antihermitiana. La forma quadratica associata ad una forma antihermitiana ha solo valori immaginari.

Matrice associata

Supponiamo che $V$ abbia dimensione finita. Sia

$B=({𝐯}_1,\dots ,{𝐯}_n)$

una base di $V$. Ogni forma hermitiana $\varphi$ è rappresentata da una matrice hermitiana $H$ definita come

$H_{i,j}=\varphi ({𝐯}_i,{𝐯}_j)$

e vale la relazione

$\varphi (𝐰,𝐳)=[𝐰{]}_B^{t}H\overline{[𝐳{]}_B}$

dove $[𝐯{]}_B$ è il vettore in $C^n$ delle coordinate di $𝐯$ rispetto a $B$. D'altra parte, ogni matrice hermitiana definisce un prodotto hermitiano. Come per le applicazioni lineari, questa corrispondenza fra forme e matrici dipende fortemente dalla scelta della base $B$.

Forma quadratica

Ad una forma hermitiana è possibile associare una forma quadratica definita come:

$Q(z)=\varphi (z,z)$

Tale forma ha tutti valori reali: una forma sesquilineare è hermitiana se e solo se la forma quadratica a lei associata ha solo valori reali.

Bibliografia

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• K.W. Gruenberg & A.J. Weir (1977) Linear Geometry, §5.8 Sesquilinear Forms, pp 120–4, Springer, ISBN 0-387-90227-9.

Voci correlate

• Forma bilineare
• Forma quadratica
• Matrice antihermitiana
• Matrice hermitiana
• Operatore autoaggiunto
• Prodotto scalare
• Spazio di Hilbert
• Spazio prehilbertiano
• Trasformazione antilineare
• Trasformazione lineare

Collegamenti esterni

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