Trasformazione antilineare

In matematica si dice trasformazione antilineare, applicazione antilineare, funzione antilineare, mappa antilineare o operatore antilineare una trasformazione $f:V\to W$ da uno spazio vettoriale sui complessi in un secondo spazio dello stesso genere se:

$f(a𝐱+b𝐲)=\overline{a}f(𝐱)+\overline{b}f(𝐲)\mathrm{\forall }a,b\in ℂ\mathrm{\forall }𝐱,𝐲\in V$

dove $\overline{a}$ è il complesso coniugato di $a$.

Queste entità talvolta sono chiamate trasformazione coniugatolineare e trasformazione semilineare.

Se insieme alla precedente $f$ si considera una seconda trasformazione antilineare del genere $g:W\to X$ che conduce ad un terzo spazio vettoriale sui complessi $X$, la composizione di $f$ con $g$ è una trasformazione lineare complessa $g\circ f:V\to X$.

Una trasformazione antilineare $f:V\to W$ è equivalente ad una trasformazione lineare del genere $\overline{f}:V\to \overline{W}$ che conduce allo spazio vettoriale complesso coniugato $\overline{W}$.

Per un operatore antilineare la definizione di aggiunta è diversa da quella usuale:

$(𝐱,f^{+}𝐲)=(f𝐱,𝐲{)}^{*}=(𝐲,f𝐱)$

in cui l'operatore risulta correttamente antilineare in $𝐱$ e $𝐲$.

Bibliografia

• Template:En Horn and Johnson, Matrix Analysis, Cambridge University Press, 1985. ISBN 0-521-38632-2. (antilinear maps are discussed in section 4.6).
• Template:En Budinich, P. and Trautman, A. The Spinorial Chessboard. Spinger-Verlag, 1988. ISBN 0-387-19078-3. (antilinear maps are discussed in section 3.3).

Voci correlate

• Complesso coniugato
• Forma sesquilineare