Punto di equilibrio

Un punto di equilibrio di un sistema dinamico è un punto in corrispondenza del quale l'evoluzione del sistema è stazionaria.

Dato un sistema autonomo $\dot{𝐱}(t)=𝐟(𝐱(t))$, il vettore ${𝐱}_0$ è un punto di equilibrio se $f({𝐱}_0)=\mathrm{𝟎}$. In tal caso la funzione $𝐱(t)={𝐱}_0$ è una soluzione (stazionaria) per ogni $t$. Le soluzioni stazionarie sono tutti e soli i punti di equilibrio dell'equazione, la cui ricerca coincide quindi con il trovare gli zeri del campo vettoriale $𝐟$.

Definizione

Se il sistema dinamico è determinato da una equazione differenziale (o un sistema di equazioni):

$\frac{d}{dt}x(t)=F(x(t),t)$

un punto di equilibrio è un punto $x_0$ tale che $F(x_0,t)=0$ per ogni $t$. Questa condizione implica infatti che:

$\frac{d}{dt}x(t)=0$

da cui, integrando, si ottiene $x(t)=cost$ indipendentemente dal tempo $t$, ovvero il sistema tende a rimanere immutato alle condizioni descritte dal punto $x_0$. Di particolare interesse è lo studio delle derivate (o la jacobiana) di $f$ in corrispondenza dei punti di equilibrio, poiché fornisce diverse informazioni sul comportamento locale della soluzione.

Se il sistema dinamico è determinato da un'equazione di ricorrenza:

$x_{n+1}=T(x_n,n)$

allora un punto di equilibrio è un punto $x_0$ che sia un punto fisso delle mappe $T(x_i,i)$, ovvero tale che $T(x_0,n)=0$ per ogni n.

Stabilità

Template:Vedi anche I punti di equilibrio possono essere classificati linearizzando l'equazione, e osservando il segno degli autovalori della matrice jacobiana (relativa al sistema linearizzato) valutata nel punto di equilibrio.

Un punto di equilibrio è iperbolico se nessuno degli autovalori ha parte reale nulla. Se tutti gli autovalori hanno parte reale negativa il punto di equilibrio è stabile, mentre se almeno un autovalore ha parte reale positiva l'equilibrio è instabile. Infine, se ci sono almeno un autovalore che ha parte reale positiva e uno che ha parte reale negativa, il punto è un punto di sella.

Voci correlate

• Criterio di Dirichlet-Lagrange
• Punto critico (matematica)
• Punto di equilibrio iperbolico
• Punto di sella
• Punto fisso
• Stabilità interna
• Varietà stabile

Collegamenti esterni

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