Finite impulse response

Nella teoria dei segnali, in particolare nell'elaborazione numerica dei segnali, un sistema dinamico finite impulse response, in italiano risposta finita all'impulso e spesso abbreviato in FIR, è una tipologia di filtro digitale caratterizzata da una risposta impulsiva di durata finita, cioè che si annulla ad un tempo finito. I sistemi la cui risposta non si annulla ad un tempo finito sono detti infinite impulse response (IIR).

Definizione

Un filtro FIR a tempo discreto di ordine N con risposta impulsiva $b[n]$.

L'uscita $y(t)$ di un sistema dinamico lineare tempo-invariante (LTI) a tempo continuo soggetto ad un segnale in ingresso $x(t)$ è descritta dalla convoluzione $y(t)=x(t)*h(t)$, dove $h(t)$ è la risposta del sistema quando l'ingresso $x(t)$ è una funzione a delta di Dirac. L'uscita $y$ è quindi proporzionale alla media dell'ingresso $x$ pesata dalla funzione $h(-\tau )$, traslata di un tempo $t$:

$y(t)=\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}x(\tau )h(t-\tau )d\tau$

Un sistema dinamico lineare stazionario discreto trasforma la successione in ingresso $\{x\}$ in un'altra successione $\{y\}$, data dalla convoluzione discreta con la risposta $h$ alla delta di Kronecker:

$y[n]=\sum _{k=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}x[k]\cdot h[n-k]=\sum _{k=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}x[n-k]\cdot h[k]$

Gli elementi di $\{y\}$ possono dipendere da ogni elemento di $\{x\}$. Solitamente $y[n]$ dipende maggiormente dagli elementi in prossimità del tempo $n$.

Per un filtro a tempo discreto l'uscita è una somma pesata dei valori assunti dall'ingresso al tempo corrente ed a tempi precedenti. Tale operazione è descritta dalla seguente equazione:

$y[n]=h_{0}x[n]+h_{1}x[n-1]+\cdots +h_{N}x[n-N]=\sum _{i=0}^N{h}_{i}x[n-i]$

dove $h_i$ sono detti coefficienti del filtro, che determinano la risposta impulsiva, ed $N$ l'ordine del filtro. Per un filtro di ordine $N$ compaiono $(N+1)$ termini nel membro alla sinistra.

Filtro a media mobile

Diagramma a blocchi di un filtro FIR a media mobile di ordine 2

Poli e zeri di un filtro FIR a media mobile di ordine 2

Un filtro a media mobile è uno dei più semplici filtri FIR, i cui coefficienti $b_0,\dots ,b_N$ soddisfano l'equazione:

$b_i=\frac{1}{N+1}$

Ad esempio, un filtro di ordine $N=2$ ha risposta impulsiva:

$h[n]=\frac{1}{3}\delta [n]+\frac{1}{3}\delta [n-1]+\frac{1}{3}\delta [n-2]$

Facendone la trasformata zeta:

$H(z)=\frac{1}{3}+\frac{1}{3}{z}^{-1}+\frac{1}{3}{z}^{-2}=\frac{1}{3}\frac{z^2+z+1}{z^2}$

i cui due poli sono nell'origine e i due zeri in:

$z_1=-\frac{1}{2}+j\frac{\sqrt{3}}{2}{z}_2=-\frac{1}{2}-j\frac{\sqrt{3}}{2}$

La risposta in frequenza (in radianti per campione) è:

$H\left(e^{j\omega }\right)=\frac{1}{3}+\frac{1}{3}{e}^{-j\omega }+\frac{1}{3}{e}^{-j2\omega }$

Bibliografia

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Voci correlate

• Delta di Dirac
• Ergodicità
• Funzione di trasferimento
• Infinite impulse response
• Sistema dinamico
• Sistema dinamico lineare
• Sistema dinamico lineare stazionario discreto
• Teoria della stabilità
• Trasformata di Fourier
• Trasformata di Fourier a tempo discreto
• Trasformata zeta

Collegamenti esterni

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